s
= ut + at/2 + at2/2 -!!_
-@%M !$_
एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र यसले समाधान दिन सक्छ तर यसको आयामिक सूत्र मिल्दैन । प्रवेगको स्थापनामा गल्ती भएका कारण यस समीकरणको आयामिक सूत्र नमिलेको देखिन्छ ।
s
= ut + T×at/2 + at2/2 -!@_ -@%M
!$_
यस समीकरण भने समीकरण ११ बाट आयामिक सूत्र मिल्ने गरी व्युत्पत्ति गरेर ल्याइएको हो । यसले केवल एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र समाधान दिन सक्छ ।
s
= (v1 + u + at)t/2 -!#_
यस समीकरणलाई समीकरण १२ बाट व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ तर यो पनि एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र मिल्न पुग्छ । यहाँ v1 (= u+aT) पहिलो गति हो ।
v2 = 2as - v1v + u (v1 + v) -!$_
यो समीकरण समीकरण १ र १३ बाट व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ । यस समीकरण पनि एकाइ समयका लागि मात्र सही देखिन आउँछ ।
s
= ut + att1 -!%_ -@%M
!$_
यो समीकरण एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र उपयोगी हुने देखिन्छ । यसको व्युत्पत्तिको कुनै स्वीकृत आधार भने हुँदैन । एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा हिसाब मिलाउनका लागि यस खालको बनावटी जुक्ति पनि अपनाउन सकिन्छ भनी नमुना दिइएको हो ।
माथि प्रस्तुत गरिएका समीकरणहरू ११, १२, १३, १४ र १५ सम्भाव्य जुक्तिका लागि बनावटी रूपमा प्रस्तुत गरिएको हो । यी सबै समीकरणहरू एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र कामचलाउ समाधान हुन सक्ने देखाइएको छ । यी समीकरणहरूको संक्षिप्त व्याख्या गरी यसबारे थप स्पष्ट बुझ्न सकिन्छ ।
समीकरण ११ प्रवेगको भूमिकाका कारण एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र मिल्न जान्छ । अन्य परिमाणका समयान्तरालमा मिल्न जाँदैन । त्यसैले यो समीकरण सीमित सन्दर्भमा प्रयोगयोग्य प्रतीत हुन्छ । तर अन्तर्तहमा नियाल्दा घटना र समीकरणका बीचमा भने कुनै सम्बन्ध भएको पाइँदैन ।
समीकरण १२ मा आयाम मिलाउनका लागि समयान्तरालको संकेत राखिएको छ । यो पनि समीकरण ११ जस्तै गरी बनावटी सम्भावनाका रूपमा प्रस्तुत गरिएकाले एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र मिल्न जाने देखिन्छ । पहिलो गतिका लागि सुरुको गतिपछि १ समयान्तराल बराबरको समय लाग्ने हुन्छ । त्यसैले समीकरण १३ समीकरण १२ र १ बाट मिलाएर भ्रमपूर्ण व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ ।
समीकरण १ र १३ बाट मिलाएर व्युत्पत्ति गर्दा समीकरण १४ प्राप्त गर्न सकिन्छ । समीकरण १४ पनि कामचलाउ र बनावटी समाधान हुन पुग्छ । एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा यसले सही समाधान दिएको प्रतीत भए पनि वास्तविक घटनाभन्दा फरक र बेमेल छ । यसले फरकफरक समयान्तरालका सन्दर्भमा पनि काम गर्न सक्दैन ।
समीकरण १५ मा पनि फरकफरक समयान्तरालको क्षमता निहित छैन । यो दुई वटा भिन्नभिन्न समयको कल्पना गरेर कुनै समाधान मिलाउन गरिएको बनावटी प्रयासको उपज हो । त्यो वास्तविक सर्वस्वीकृत विज्ञानसम्मत मान्यतामा आधारित समाधान होइन । यो आधारभूत मानाइ सही नभइकन बनाइएको कामचलाउ सम्भावना हो । यसरी माथिका ११, १२, १३, १४ र १५ समीकरणहरू भ्रमका कारण उत्पन्न हुन सक्ने सम्भावनाका रूपमा मात्र प्रस्तुत गरिएको हो ।
यसरी सुवातका पाँचवटा समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र स्थापना विज्ञानसम्मत र स्वीकृत नियमका आधारबाट नभएको पाउन सकिन्छ । सुवातका समीकरणहरू प्रमाणित गर्दा स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र वैध नियमहरूको कुनै आधार लिइएको देखिँदैन । प्रयुक्त तार्किक आधारहरू पनि विज्ञानसम्मत देखिएका छैनन् र ती समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्त्वमा थप समस्या देखिन गएको छ ।
१७= एकरूपतामा देखिने समस्या र उदाहरण
१७=१= घटना १
मानौँ अवरोधहीन क्षेत्रमा रहेको कुनै वस्तुमा कुनै परिमाणको एकनास बल निरन्तर रूपले १ मिनेटसम्म लगाइएको छ र उक्त वस्तुको प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड छ । यस्तो अवस्थामा १ मिनेटसम्म भएको विस्थापनको मात्रा कति हुन्छ ?
१७=२= परीक्षण
१७=२=१= प्रचलित प्रवेगमा आधारित जाँच
१= घटना १ मा एकएक सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यतिबेला समयान्तराल १ सेकेन्ड भएकाले प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १८०० मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ३० मिटरले कम देखियो । तर सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
२= घटना १ मा दुईदुई सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल २ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा लागत समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७७२ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ५८ मिटरले कम देखियो । तर सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
३= यस घटनामा तीनतीन सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ३ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७४४.५ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ८५.५ मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
४= सोही घटनामा चारचार सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ४ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसको समाधानका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७१८ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ११२ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर हुन जान्छ ।
५= उक्त घटनामा पाँचपाँच सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ५ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १६९२=५ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा १३७=५ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
६= घटना १ मा तीसतीस सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ३० सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १३८० मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४५० मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
कुनै परिमाणको विस्थापनलाई जसरी एकाइ समयान्तरालमा भएका विस्थापनहरूको योगफलका रूपमा लिन सकिन्छ त्यसरी नै फरकफरक परिमाणका समयान्तरालहरूमा भएका विस्थापनहरूको योगफलका रूपमा पनि लिन सकिन्छ । यस खालको परिणाम निकाल्न बनाइने नियम वा समीकरणले दुवै अवस्थामा समाधान दिन सक्नुपर्ने हुन्छ । सुवात समीकरण ३ ले यस खालको क्षमता नराखेको देखियो । उही घटना र परिमाणलाई उक्त समीकरणले स्थिर नतिजा दिन सकेको देखिएन र विस्थापनजस्तो परिमाणलाई सिंगोटुक्रे तथ्यका आधारमा टुक्राउन र जोड्न सक्ने क्षमता राखेको देखिएन । तर सुव्रत समीकरण ७ भने सक्षम रहेको देखियो ।
यस घटनामा जम्मा समय ६० सेकेन्डको अवधि रहेकाले उक्त समयलाई १–१, २–२, ३–३, ४–४, ५–५ र ३०–३० सेकेन्डका समयान्तरालहरूमा विभाजन गरी तत्तत् समयान्तरालहरूमा पार भएका विस्थापनहरूको योगफल निकाल्ने र सुवात समीकरणले उक्त योगफल दिन सक्छ वा सक्दैन भन्ने कुराको जाँच गर्ने कार्य भएको छ । यसो हुँदा जम्मा विस्थापनको वास्तविक मात्रा हरेकचोटि समान देखिएको छ तर सुवात समीकरणका आधारमा उक्त विस्थापन पत्ता लगाउँदा भने हरेक चोटि फरकफरक परिणामहरू प्राप्त भएका छन् ।
यसरी १–१, २–२, ३–३, ४–४, ५–५ र ३०–३० सेकेन्डका -अथवा १–१ सेकेन्ड र तीभन्दा बढी परिमाणका_ समयान्तरालहरूका आधारमा जाँच गर्दा समान नतिजा आउँछ वा आउँदैन भनी जाँच गर्ने क्रममा समीकरण ३ र समीकरण ७ ले दिने नतिजाहरू फरकफरक देखिएका छन् । यहाँ सबै समयान्तरालहरूको आधारमा जाँच गर्दा समीकरण ७ वमोजिम सही नतिजा हासिल भएको छ भने समीकरण ३ वमोजिम जाँच गर्दा हरेकचोटि वास्तविकभन्दा भिन्नभिन्न परिणामहरू प्राप्त भएका छन् ।
यी जाँचहरूमा सुवात र सुव्रत -दुवै_ समीकरणहरूका लागि १–१ भन्दा बढी समयान्तरालका आधारमा जाँच गर्दा बल लगानी भएपछिको पहिलो समयान्तरालमा पार भएको विस्थापनलाई सुरुको गतिभित्रको विस्थापन र उक्त समयान्तरालमा देखिएको गतिलाई सुरुको गति मानेर जाँच गरिएको छ । सुवात समीकरणका लागि भने सरदर प्रवेगको पनि सवाल उठाइने सम्भावना हुन सक्छ भनी सरदर प्रवेगका आधारमा समेत जाँच गरिएको छ । सुव्रत समीकरणहरू भने सरदर प्रवेगका आधारमा निर्मित समीकरणहरू होइनन् ।
गणितीय प्रमाणहरूलाई आधार मानिएका १–१ बढी समयान्तरालका सन्दर्भसँग जोडिएका यी जाँचहरूका आधारमा हेर्दा स्थिर अवस्थामा रहेको वस्तुमा देखिन जाने पहिलो प्रदुर्यान्तर र त्यसपछिका प्रदुर्यान्तरका बीचमा समानता नभएको देखिन्छ । यतिबेला अवरोधहीन क्षेत्रमा स्थिर अवस्थामा रहेको वस्तुमा एकनास बल लागेपछि वस्तुले पहिलो समयान्तरालमा पार गर्ने दुरी वा देखिन जाने दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तर त्यसपछिका दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तरहरू भन्दा कम भएको देखिन जान्छ । त्यसैले सुरुको गति शून्य नमानेर शून्यको हाराहारी वा सोभन्दा बढी भएको मान्दा सबै समयान्तरालका लागि एकै तरिकाबाट सही नतिजा निकाल्न सजिलो हुने देखिन्छ ।
उदाहरणका लागि माथिको घटनाका सन्दर्भमा २–२ सेकेन्डको समयान्तराल लिँदा पहिलो समयान्तराल -२ सेकेन्ड_ मा ३ मिटर विस्थापन हुन्छ । यतिबेला पहिलो दुई सकेन्डको समयान्तरालको दुर्यान्तर ३ मिटर हुन्छ र प्रदुर्यान्तर ३ मिटर प्रति दुईसेकेन्ड हुन्छ । यसअनुसार त्यसपछिका समयान्तरालमा भने ७ मिटर, ११ मिटर, १५ मिटर आदि विस्थापन पदहरू हुने भएकाले पछिल्ला समयान्तरालहरूमा देखिने सबै दुर्यान्तरहरू ४ मिटर हुन्छन् र प्रदुर्यान्तरहरू ४ मिटर प्रति दुई सेकेन्ड हुन्छन् । यहाँ समान समयान्तरालमा ३ मिटरको दुर्यान्तर पनि देखियो र ४ मिटरका दुर्यान्तरहरू पनि देखिन पुगे । यसले स्थिर अवस्थाको वस्तुमा एकनास बल लगानी भएपछि पहिलो समयान्तरालमा देखिने दुर्यान्तर पछिल्ला समयान्तरालमा दुर्यान्तरसँग बराबर हुँदैन भन्ने देखाउँछ ।
पहिलो घटनाका लागि २–२ सेकेन्डका समयान्तरालहरू छनौट गर्दा पहिलो समयान्तरालपछिका २९ वटा समयान्तरालमा भएका विस्थापनहरूको योगफल -यस उदाहरणमा १८२७ मिटर_ प्राप्त गर्न सुव्रत समीकरण ७ को प्रयोग गरिन्छ र पहिलो समयान्तरालमा पार भएको विस्थापनको मात्रा -३ मिटर_ जोडिन्छ । जसबाट समग्र विस्थापन १८३० मिटर हुन जान्छ । यसरी प्राप्त हुने परिणाम वास्तविक परिणामसँग पनि बराबर हुन्छ । सुवात समीकरण ३ भने यसरी मापन गर्दा पनि सही नतिजा दिन सक्षम हुँदैन ।
यस घटनाको विश्लेषणबाट कुनै वस्तुले शून्य अवस्थाबाट दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तर बढाउँदै गएका बेला पहिलो समयान्तरालमा पार भएको दुरी दोस्रो समयान्तरालमा नदेखिन पनि सक्छ भन्ने देखियो । त्यसैले एकाइ वा त्योभन्दा बढी परिमाणका समयान्तरालहरूमा पहिलो समयान्तरालमा भएको विस्थापनलाई पहिल्यै पार भएको दुरी मान्ने र त्यसपछिका समयान्तरालहरूमा भएका विस्थापनलाई समीकरण ७ को सूत्रबमोजिम -१ मिटर±१८२९ मिटर Ö १८३० मिटर, ३ मिटर±१८२७ मिटर Ö १८३० मिटर आदिजसरी_ निकाल्नु पर्छ ।
१७=२=२= सरदर प्रवेगका आधारमा जाँच
१= घटना १ मा एकएक सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यतिबेला समयान्तराल १ सेकेन्ड भएकाले सरदर प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १८०० मिटर हुन आउँछ । यहाँ सुवात समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ३० मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकालिँदैन र विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
२= यस घटनामा दुईदुई सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल २ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९९१६ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसको समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७८४=८८ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ सुवात समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४५=१२ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
३= यस घटनामा तीनतीन सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ३ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९८३३३ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७६९=९९४ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ६०=००६ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
४= घटना १ मा चारचार सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ४ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९७५ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७५५ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ७५ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
५= यस घटनामा पाँचपाँच सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ५ सेकेन्ड लिँदा परम्परित सरदर प्रवेग ०=९६६६६ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७४० मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ९० मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
६= घटना १ मा तीसतीस सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ३० सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=७५८३५ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १३६५=०३ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४६४=९७ मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।
समयान्तरालको मात्रा बढाउँदा सरदर प्रवेगको मात्रा बढेर जान्छ । जस्तो एकाइ समयान्तरालमा ० मिटर, १ मिटर, २ मिटर, ३ मिटर, ४ मिटर, === को अनुक्रममा रहेका विस्थापनहरूका बीचमा प्रचलित सुवात समीकरणहरूमा प्रवेगको मात्रा १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । समयान्तरालको मात्रा बढाएर २ सेकेन्ड बनाएका खन्डमा पहिलो २ सेकन्डमा भएको विस्थापनको मात्रा ३ मिटर प्रति दुईसेकेन्ड प्रति दुईसेकेन्ड र दोस्रो २ सेकेन्डमा ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । खासमा यतिबेला एकाइ समयान्तरालका तुलनामा दुई सेकेन्डको समयान्तरालका बेला प्रवेगको मात्रा बढ्नुपर्नेमा पहिलोमा कम र दोस्रोमा उही नै रहन पुग्छ ।
समाधानका लागि दिइएका सुव्रत समीकरणहरूमा भने यस्ता अवस्थामा आएका पहिलो समयान्तरालका विस्थापनलाई सुरुको विस्थापन मान्नुका साथै यस अवस्थाको गतिलाई सुरुको गति मानिएको छ र सोहीअनुसार समाधान दिइएको छ । परम्परित प्रवेगमा पनि सरदर प्रवेग निकाल्नु उपयुक्त हुँदैन तर कतै यस खालका जिज्ञासा र सम्भावना पनि आउन सक्ने भएकाले सोबारेमा अग्रिम जानकारी गराइएको हो । यसप्रकारले सुवात समीकरणहरूमा फरकफरक परिमाणका समयान्तरालहरू लिएर हेर्दा फरकफरक विस्थापनका मात्राहरू हासिल गर्न सक्छौँ । सुव्रत समीकरणहरूले भने सबै परिमाणका समयान्तरालहरूका लागि काम गर्दछन् ।
१८= समस्या समाधानका आधारहरू
अंक गणितीय अनुक्रममा रहेका जुनकुनै अनुक्रमहरूलाई अनुक्रमको प्रचलित र स्वीकृत नियमका आधारमा वर्णन गर्न सकिन्छ । अवरोधहीन क्षेत्रमा रहेको कुनै वस्तु वा अंशमा समान परिमाणको निरन्तर बल लागेका बेला हरेक समान समयान्तरालहरूमा पदका स्वरूपमा देखिने सरल रेखीय सदिश विस्थापनका मात्राहरू -अथवा विस्थापन पदहरू_ अंकगणितीय अनुक्रममा रहेको देखिन्छ । यसका आधारमा तिनीहहरूलाई अंकगणितीय अनुक्रम र श्रेणीका स्वीकृत नियमहरूबाट मापन, वर्णन र व्याख्या गर्न सकिने पुष्टि हुन्छ ।
अंक गणितीय अनुक्रममा रहेका क्रमिक पदहरूका बीचमा साझा अन्तर हुने गर्दछ । उक्त साझा अन्तरले अनुक्रमको संरचनामा भूमिका निर्वाह गर्ने भएकाले विस्थापन पदहरूका बीचमा पनि कुनै सदिश भौतिक शास्त्रीय परिमाणले सोही अनुरूप भूमिका निर्वाह गरिरहेको हुन्छ । यसलाई केही समयदेखि साझा दुरी अन्तर, साझा विस्थापन अन्तर आदि नामाकरण गरिएको देखिन्छ -२५ः ३ पृ= ५५६, ५९४, २५ः १४, १५_ । पछिल्लो समयमा यस परिमाणलाई दुुर्यान्तर भनी नामाकरण गरिएको छ -२५ः ३०, ३१, ३२_ । यसर्थ उक्त परिमाणले अनुक्रमको संरचनाभित्र सम्बन्धित भएर आउने विस्थापनको मात्रा, सुरुको गति, अन्तिम गति, प्रदुर्यान्तर, समयान्तराल आदिसँग कुनै न कुनै प्रकारले सम्बन्ध राखेको हुन्छ ।
कुनै पनि वस्तुको दुई भिन्नभिन्न परिमाणका गतिका आधारमा निकालिएको योगफलबाट दुवैको साझा सरदर गति निकाल्न सकिन्छ । यस आधारमा अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तुमा लागेको बलपश्चात् वस्तुको निर्मित सरदर गति र सुरुको गतिको योगफल सरदर गति अथवा सुरुको गतिसमेतको सरदर गति हुन्छ ।
अंक गणितीय अनुक्रम र श्रेणीमा साझा अन्तरले भूमिका निर्वाह गरेको हुन्छ । सम्पूर्ण पदहरूको जम्मा योगफल निकाल्दा प्राप्त हुने परिणामलाई साझा अन्तरको जम्मा संख्याले भाग गर्दा आउने परिणाम सरदर पद हो । यस्तो पदलाई साझा अन्तरका संख्यासँग गुणन गर्दा सम्पूर्ण पदहरूको योगफलसँग बराबर हुन्छ । त्यसै गरी कुनै समयमा भएको विस्थापनको सम्पूर्ण मात्रामा पनि दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले भूमिका निर्वाह गरेका हुन्छन् । उक्त अवधिले विस्थापनको मात्रालाई भाग गर्दा प्राप्त हुने गति सरदर गति हो । यसबाट दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको सम्बन्ध सरदर गतिसँग पनि रहेको हुन्छ भन्ने कुरा स्पष्ट हुन्छ ।
यसपूर्व दुरी परिवर्तन दर वा साझा गतिअन्तर आदिका नाममा प्रयुक्त प्रदुर्यान्तर नामक परिमाण पनि दुर्यान्तरका आधारमा निर्मित भौतिक शास्त्रीय परिमाण हो । त्यसैले भौतिक शास्त्रीय परिमाणहरू जान्नका लागि प्रदुर्यान्तरका आधारमा निर्माण गर्न सकिने समीकरणहरूमा दुर्यान्तरको पनि भूमिका रहेको हुन्छ । यसका साथै सुरुको गति, समय, अन्तिम गति, विस्थापन, निर्मित सरदर गति, सरदर गति, दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरका बीचमा पनि समीकरणीय सम्बन्धहरू रहेका हुन्छन् ।
१९= दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका र सम्बन्धित समीकरणहरू
s
= Vavt = (u+vav)t -!^_
s
= (v1+v)t/2, Vav = (v1+v)/2 -!&_
S
= x0 + d0(n-1) + Dn(n-1)/2 -!*_
S
= x0+ut+(rt2)/2T+rt/2 -!(_
Vav = (u+vav) -@)_
dav
= d0+Dn/2
-@!_
dav
= d0+rnT/2 -@@_
Vav
= u+(rt/2T + r/2) -@#_
Vav
= u+nr/2
-@$_
D
= rT, r = D/T -@%_
१९=१= प्रमाण र परिणाम
फरकफरक समयान्तरालमा भएका फरकफरक परिमाणका विस्थापनको योगफलको भूमिकाबाट प्राप्त हुने विस्थापन सरदर गति र समयको गुणनफलबाट प्राप्त हुने भएकाले उपर्युक्त समीकरण १६ स्वतः सिद्ध गर्न सकिन्छ । समीकरण १७, १८ र १९ पनि अनुक्रम र श्रेणीको सर्वस्वीकृत नियमका आधारमा सही छन् । यस अवस्थामा पहिलो गतिपूर्वको विस्थापन पनि छ भने त्यो छुट्टै जोड्नुपर्ने हुन्छ ।
गणितीय -जोड तथ्यका_ आधारमा जाँच गर्दा समीकरण २०, २१, २२, २३ र २४ स्वतः प्रमाणित छन् । कुनै पनि उस्तै प्रकृति वा आयामका परिमाणहरू वा एउटै परिमाणका अंशहरूको योगबाट समग्र स्वरूप प्राप्त गर्न सकिने हुनाले यी समीकरणहरू प्रमाणित छन् । त्यसै गरी गणितीय सर्वस्वीकृत मान्यताका आधारमा समीकरण २५ लाई प्रमाणित गर्न सकिन्छ । यी समीकरणहरूलाई उदाहरणबाट स्पष्ट गरौँ ।
मानौँ अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै गतिमा रहेको वस्तुमा कुनै परिमाणको एकनास बल लगानी गरिएको छ । तब निश्चित समयान्तरालका आधारमा मापन गर्दै जाने हो भने बल लगानी भएपछि देखिएका विस्थापनका मात्राहरू निम्नबमोजिमको अनुक्रम -क_ भित्र निहित भएको पाउन सकिनेछ ः
d0,
d0+D, d0+2D, d0+3D, d0+4D, ..., d0+(n-1)D -cg'qmd s_
अब बल लगानी भएको अवधिभरिका विस्थापनहरूको मात्रा जोडौँ । उक्त योगफल नै सो अवधिभरि भएको जम्मा विस्थापनको मात्रा हो । यसबाट समीकरण १८ प्राप्त गर्न सकिनेछ र समीकरण ७ र १९ पनि व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ । साथै निम्नानुसार संकेतन गर्दा अन्य समीकरणहरू पनि प्राप्त गर्न सकिन्छ ः
u
= d0/T, v1 = d0+D/T, v2 = d0+2D/T,
v3 = d0+4D/T, ..., v(n-1) = d0+(n-1)D/T
(= v)
माथिका समीकरणहरूले केकस्ता नतिजाहरू दिन्छन् भन्ने कुराबारे स्पष्ट हुनका लागि कुनै सानो अनुक्रमलाई लिन सकिन्छ । सजिलोका लागि मानौँ कुनै अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तु निरन्तर दुर्यान्तरित भइरहँदा दुरीजन्य पदहरू मिटरमा ०, १, २, ३, ४ छन् भने दुर्यान्तर १ मिटर र प्रदुर्यान्तर १ मिटर प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । बल लागेको समय ४ सेकेन्ड, सुरुको गति ० मिटर प्रतिसेकेन्ड, अन्तिम गति ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड, निर्मित सरदर गति २.५ मिटर प्रतिसेकेन्ड, सरदर गति २.५ मिटर प्रतिसेकेन्ड, पदसंख्या ५, समयान्तराल १ सेकेन्ड, पहिलो गति १ मिटर प्रतिसेकेन्ड, विस्थापन १० मिटर र समग्र विस्थापन १० मिटर हुन्छ । समीकरण १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५ यस उदाहरणका सन्दर्भमा पनि सही देखिन्छन् ।
यस्तो अवस्थामा पदसंख्या ४ मानेर पनि समस्या समाधान निकाल्न चाहेमा समय ३ समयान्तराल मान्नुपर्ने हुन्छ । यतिबेला सुरुको गति १ मिटर प्रतिसेकेन्ड, पहिलो विस्थापनपूर्वको दुरीको मात्रा १ मिटर, दुर्यान्तर १ मिटर, पहिलो गति २ मिटर प्रतिसेकेन्ड र अन्तिम गति ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड र प्रदुर्यान्तर १ मिटर प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । तब समीकरण ७, १६, १७, १८ र १९ बमोजिमको विस्थापनको मात्रा १० मिटर हुन आउँछ । यसप्रकारले सुव्रत समीकरणका सूत्र प्रयोग गरी फरक विधिबाट पनि समाधानहरू पहिल्याउन सकिन्छ ।
२०. सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व
समीकरण १६ मा सुरुको वा प्रारम्भिक गति र अन्य थप गतिहरूको सरदर मान निकालिएको छ । सुरुको गतिको मान अचल हुने भए पनि अन्य फरकफरक थप परिमाणका गतिका आधारमा निर्मित सरदर गति निकाल्दा उक्त गति प्रदुर्यान्तर र एक कम पदसंख्याको गुणनफलको आधा मात्रासँग बराबर भएको पाउन सकिन्छ । यसलाई ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गरेको देखाउँदा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई आधार मानिएको छ । यस अनुसन्धानपत्रमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई सरदर गति भनिएको छ ।
सरदर गतिमा एकनासको गतिको अर्थ निहित हुन्छ । सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्वका लागि ठाडो अक्षमा सरदर गति र तेर्सो अक्षमा जम्मा लागत समय राख्न सकिन्छ । यसो गर्दा हरेक समयान्तरालमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफल थप हुँदै जान्छ भन्ने स्पष्ट गर्न सकिन्छ । दुई अक्षमा राखेका कारण सरदर गति र समयको गुणनफलका रूपमा विस्थापन प्राप्त गर्न सकिन्छ ।
सरदर गति पहिलो गति र अन्तिम गतिको योगफलको आधा मात्रासँग पनि बराबर हुन्छ । यस मात्रालाई ज्यामितीय स्वरूपमा देखाउँदा पहिलो गति र अन्तिम गतिको योगफललाई समयसँग गुणन गरियो भने हरेक समयान्तरालमा सरदर विस्थापनको दोब्बर विस्थापन भइरहेको हुन्छ । यतिबेला यसलाई परम्परित शैलीमा जसरी त्रिभुजाकार स्वरूपमा देखाउन वा आयातकै आधा मात्राका रूपमा देखाउन पनि सकिन्छ तर यसरी गरिएको प्रतिनिधित्व अनावश्यक प्रतिनिधित्व हुन जान्छ । यो कार्य एक अर्थमा ४ लाई २ ले भाग गर्नुलाई २ लाई १ ले भाग गरेर लेखेजस्तो पनि हुन जान्छ । अचल वा सरदर गतिलाई नै समयका आधारमा गुणात्मक रूपले व्यख्या गर्नु उपयुक्त हुन जान्छ ।
यसरी दुई अक्षहरूमध्ये एक अक्षमा सरदर गति र अर्को अक्षमा समय राखेर देखाउने प्रचलनमा क्षेत्रफलको प्रभाव देखिन्छ । तर समय र सरदर गतिको गुणनफल कुनै क्षेत्रफलजस्तो विषय भने होइन । जस्तो, हरेक सेकेन्डमा १ मिटर यात्रा गर्ने कुनै वस्तुले ५ सेकेन्डमा ५ मिटर यात्रा गर्छ भन्नु र १ मिटरका लम्बाइहरू ५ वटा जोड्दा ५ मिटर हुन पुग्छ भन्नु एउटै हो । केवल विस्थापनलाई सदिश परिमाणका रूपमा लिनुपर्छ ।
गतिका यस्ता सवाल वा घटनामा ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउनु भनेको ज्यामितीय संकेतमा देखाइने वा बुझाइने एक प्रकारको भाषाको प्रयोग गर्नु भन्नेमात्र हो । तर यसरी फरक आकृतिमा व्याख्या गर्न खोज्दा कतिपय अवस्थामा विषयलाई स्पष्ट गर्नुका साटो झन् भ्रम उत्पन्न गर्ने गरेको पनि पाइन्छ । यही गलत प्रचलनको प्रभावमा परेर कतिपयले विस्थापनलाई क्षेत्रफल भनेर उल्लेख गरेको र क्षेत्रफलका रूपमा बुझ्ने गरेको पनि पाइन्छ ।
अक्षहरूको बीचमा यौगिकको संकेत गर्ने कुनै छड्के वा वक्र रेखालाई गति वा वेगको रेखा मान्दा एउटा अक्षमा विस्थापन र अर्को अक्षमा समय बढेको वा घटेको देखाउने गरिएको पाइन्छ । दुई अक्षले लम्बाइ र चौडाइलाई प्रतिनिधित्व गरेका बेला देखाइने ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको आकृति जसरी क्षेत्रफलको वास्तविक अर्थ र व्यवहारसँग समेत मिल्न जान्छ त्यसरी समय र विस्थापनका सन्दर्भमा भने मिल्न जाँदैन ।
माथिका समीकरणहरू १६ र १७ मा हुने ज्यामितीय प्रतिनिधित्वमा एकाइ समयान्तरालमा हुने निर्मित सरदर विस्थापनको भूमिका भएझैँ अन्य समीकरणहरूमा पनि सोही बमोजिम ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउन सकिन्छ । यसका लागि ती सबै समीकरणमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई एउटा अक्षमा र समयलाई अर्को अक्षमा राख्न सकिन्छ । यसरी माथि दिइएका सबै सुव्रत समीकरणहरूमा ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउन सकिन्छ । यसप्रकार सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सही हुन पुग्दछ ।
२१. पूर्वाग्रहको प्रभावको जाँच
कुनै पनि अनुसन्धानमा खोजकर्ताले आग्रह वा पूर्वाग्रह राखेको छ कि छैन भन्ने कुराको यकिन गर्नु पनि आवश्यक रहन्छ । अनुसन्धानका क्रममा गणितीय र विज्ञानसम्मत सर्वस्वीकृत मान्यताहरूको प्रयोगलाई आधार मानेर परीक्षणहरू गरिएको छ वा छैन भन्ने कुराले यस कुराको निर्णय गर्दछ । यस अनुसन्धानपत्रमा स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र बैध नियमहरूका आधारमा नै प्रचलित नियमहरूको जाँच गरिएको छ । नयाँ नियमहरूको जाँच वा स्थापनामा पनि सर्वस्वीकृत नियम र मान्यताहरूको प्रयोग गरिनुका साथै सर्वस्वीकृत वैज्ञानिक पद्धति र प्रक्रियाहरूका आधारमा अनुसन्धानलाई पूर्णता दिइएको छ । कुनै पूर्वाग्रह वा वैयक्तिक्ताको प्रभाव यस अनुसन्धानपत्रमा छैन । यो अनुसन्धानपत्र पूर्णतः बैध, विशुद्ध वस्तुपरक, सत्यतथ्यपूर्ण र प्रमाणित छ ।
२२. आयामिक सूत्रका आधारमा जाँच
सुव्रत समीकरणहरू, १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५, आयामिक सूत्रका आधारमा सही छन् । यी समीकरणका दुवैतिर एकै खालका आयामिक सूत्रहरू रहेका छन् । समीकरणहरूबाट प्राप्त हुने विस्थापन र दुर्यान्तर जस्ता परिमाणहरू लम्बाइको प्रत्यक्ष उपस्थितिमा रहेका छन् भने प्रदुर्यान्तर तथा गतिजस्ता परिमाणहरू लम्बाइ र व्युत्क्रमिक समयको गुणनफलका रूपमा रहेका छन् । यसरी ती समीकरणहरूमा आयामिक फर्मुलाहरू पनि सही देखिन आएका छन् ।
२३. अनुसन्धानपत्रको बैधता, विश्वसनीयता र प्रमाणिकता
यस अनुसन्धानपत्रमा प्रयुक्त सामग्री बैध र प्रमाणिक रहेका छन् । विभिन्न समयमा गरिएका परीक्षणहरू पनि यस अनुसन्धानका आधारका रूपमा रहेका छन् । भौतिक शास्त्र पुनर्निर्माण अभियानअन्तर्गतका प्रवचनहरू, प्रकाशन गरिएका सम्बन्धित पुस्तकहरू र अनुसन्धानपत्रहरू पनि यस अनुसन्धानपत्रको आधारका रूपमा रहेका छन् । सर्वस्वीकृत वैज्ञानिक मान्यता, स्वयंसिद्ध तथ्य र स्वीकृतिहरूका आधारमा प्रचलित नियमहरूको विश्लेषण गर्ने र नयाँ नियमहरूको आवश्यकता र औचित्य पुष्टि गर्ने कार्य यस पत्रमा भएको छ । पटकपटकको जाँच र पुनर्जाँचपछि प्राप्त परिणामहरू यस पत्रमा रहेका छन् । यी विविध आधारमा अनुसन्धानपत्रको बैधता, विश्वसनीयता र प्रमाणिकता सिद्ध भएको छ ।
२४. निष्कर्ष
माथि दिइएका सुवात समीकरण १, २, ३, ४ र ५ ले सही समाधान दिन नसक्ने पुष्टि भएपछि सुव्रत समीकरण ६, ७, ८, ९ र १० समाधानका रूपमा प्रस्तुत गरिएको हो । सम्भाव्य विकल्पहरूका रूपमा ११, १२, १३, १४ र १५ दिन सकिने प्रयास गरिए पनि ती समीकरणहरू केवल एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र मिल्न जाने र व्युत्पत्ति पनि सर्वस्वीकृत मान्यतामा आधारित हुन नसक्ने देखियो । प्रवेगको त्रुटिपूर्ण स्थापनाका कारण सुवात समीकरणहरूले एकै घटनामा पनि विभिन्न नतिजा दिने स्थिति सिर्जना भएको माथि दिइएका जाँचहरूबाट देखियो । सरदर प्रवेगको वैकल्पिक उपायबाट केही समाधान निस्किन्छ कि भनी गरिएका जाँचहरूमा पनि एकै घटनाका लागि फरकफरक परिणामहरू नै हात लाग्न पुगे । अन्ततः चालसम्बन्धी यस्ता समस्याहरूको समाधानका लागि दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरजस्ता परिमाणहरूले भूमिका खेल्ने सुव्रत समीकरणहरू सक्षम हुने देखियो । सोहीअनुरूप आएका विस्तृत सुव्रत समीकरणहरू ६, ७, ८, ९, १०, १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५ सबै समयान्तरालका लागि सही हुने देखिए । यी समीकरणहरू सबैले स्वीकार गरेका वैध नियम, स्वयंसिद्ध तथ्य र स्वीकृतिहरूका आधारमा निर्माण गरिएको हुँदा पूर्णत प्रमाणिक, विज्ञानसम्मत र प्रयोगयोग्य पनि देखिए ।
२५. सन्दर्भ सामग्रीसूची
सन्दर्भसामग्रीः (पुस्तक तथा लेखहरू)
१. इन्साइक्लोपेडिया ब्रिटानिका, इन्साइक्लोपेडिया ब्रिटानिका लाइबे्ररी, सन् २००९ ।
२. कुँवर, भविन्द्र. परीक्षणकर्ता, स्वचालित यन्त्र, बागलुङः ग्यालेक्सी इन्जिनियरिङ वर्कसप, सन् २००२ ।
३. _______ भौतिक शास्त्रमा भएका केही त्रुटिहरूका खन्डन र समाधान, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., आइएसबिएनः ९७८९९३७२२३६७६, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०११ ।
४. _______ न्युटनको चालको दोस्रो नियम कसरी गलत छ ?, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., आइएसबिएनः ९७८९९३७८५५६००, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०१२ ।
५. _______ वक्ता. ग्यालिलियोपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहास र केही आलोचनाहरू, काठमाडौँः वाल्मिकी विद्यापीठ, प्रदर्शनीमार्ग, प्रवचन, सन् २०१२ ।
६. _______ वक्ता. (क)न्युटनपूर्वको विश्लेषणात्मक इतिहास (ख) न्युटनको चालको दोस्रो नियमको व्याख्या र खण्डन, काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, कीर्तिपुर, प्रवचन, सन् २०१२ ।
७. _______ वक्ता. (क)न्युटनपूर्वको इतिहासको विवेचना (ख) न्युटनको चालको दोस्रो नियमको विश्लेषण र खण्डन, काठमाडौँः युनाइटेड स्कलर्स एकेडेमी, कलंकी, प्रवचन, सन् २०१२ ।
८. _______ परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ को निर्माण र परीक्षणका विविध चरणहरू, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., विविध आन्तरिक परीक्षणहरू, सन् २०१२ ।
९. _______ वक्ता. ग्यालिलियोपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहास र अवरोधहीन क्षेत्रमा फरक तौल र संरचनाका वस्तुहरू एकसाथ खस्दछन् वा खस्दैनन् ? काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, एम.फिल. विभाग, दिल्लीबजार, प्रवचन, सन् २०१२ ।
१०. _______ वक्ता. न्युटनपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहासको विश्लेषण र चालका नियमहरूको विश्लेषण, काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, एम.फिल. विभाग, दिल्लीबजार, प्रवचन, सन् २०१२ ।
११. _______ वक्ता÷परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ को प्रयोगबाट न्युटनको चालको दोस्रो नियमको ठाडो सतहका सन्दर्भमा परीक्षण र विश्लेषण, काठमाडौँः युनाइटेड स्कलर्स एकेडेमी, कलंकी, प्रवचन तथा परीक्षण प्रदर्शन, सन् २०१३ ।
१२. _______ एसएटिएम–१ र न्युटनको चालको दोस्रो नियमको समतल सतहको परीक्षण, काठमाडौँः नेपाल प्रतिलिपि अधिकार रजिष्ट्रारको कार्यालय, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०१३ ।
१३. _______ वक्ता÷परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ र न्युटनको चालको दोस्रो नियमको समतल सतहको परीक्षण र विश्लेषण, ललितपुरः अरनिको इन्टरनेशनल एकेडेमी, ताल्चीखेल, प्रवचन/परीक्षण प्रदर्शन सन् २०१३ ।
१४. _______ . सुवातदेखि सुव्रतसम्म, ब्लगः एक्युरेट फिजिक्स डट ब्लगस्पट डट कम, भिन्न, सन् २०१६ ।
१५. _______ . सुव्रतका केही प्रभावहरू, ब्लगः एक्युरेट फिजिक्स डट ब्लगस्पट डट कम, भिन्न, सन् २०१७ ।
१६. क्लेभेलेन्ड, जोन. फिजिकल साइन्स, कोलम्बसः चार्लीज ई. मेरिल बुक्स आइएनसी, सन् १९६४ ।
१७. गुप्ता, किरण. क्लासिकल मेकानिक्स अफ पार्टिकल्स एन्ड रिजिड बँडिज्, नयाँ दिल्लीः न्यू एज इन्टरनेशनल (पि.). लिमिटेड, सन् १९९७ ।
१८. पार्कर, साइविल पी र अन्य (सम्पा.). एमसी ग्रावहिल इन्साइक्लोपेडिया अफ फिजिक्स, दो. सं., वासिंटनः एमसी ग्रावहिल आएसी. सन् १९९३ ।
१९. पोखरेल, बालकृष्ण र अन्य. नेपाली बृहत् शब्दकोश (पाँ. सं.), काठमाडौँः नेपाल राजकीय प्रज्ञा प्रतिष्ठान, विं. सं. २०५५ ।
अन्य सन्दर्भसामग्रीः (लिंकहरू)
@)= https://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion
@!= http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23109A/
dynamics/linear_motion/linear_motion.html
@@= https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression.
@#= https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html
@$= https://en.wikipedia.org/wiki/Domingo_de_Soto,
@%= https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-94-009-8404-2_
6#page-1_
@^= https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx¿path=
MathApps%2FGalileosInclinedPlaneExperiment
@&= http://gorkhapatraonline.com/news/38086
@*= http://myagdikali.com/111815.html
@(= http://www.ratopati.com/news/130831/
#)= http://www.onlinekhabar.com/2017/01/533506/
#!= https://www.setoghar.com/more/5135/
#@= http://gorkhapatraonline.com/news/35475
##= http://myagdikali.com/93208.html
सहायक सामग्रीहरूः (पुस्तक तथा लेखहरू)
३४. जेम्स÷जेम्स, म्याथमेटिक्स डिक्सनेरी, दिल्लीः सिबिएस पब्लिसर्स एन्ड डिस्टिब्युटर्स, पुनर्मुद्रण, सन् १९८८ ।
३५. डेन्टिथ, जोन र अन्य. सं. अक्सफोर्ड डिक्सनेरी अफ फिजिक्स, दिल्लीः अक्सफोर्ड युनिभर्सिटी पे्रस्, सन् २००९ ।
३६. माइक्रोसप्mट कर्पोरेसन, माइक्रोसप्mट इन्कार्टा, १९९३–२००८, माइक्रोसप्mट कर्पोरेसन, सन् २००९ ।
३७. शर्मा, मोहनराज र लुईँटेल, खगेन्द्र. शोधविधि, ललितपुरः साझा प्रकाशन, वि.सं. २०६२ ।
३८. शिवाकोटी, गोपाल र चौलागाईँ, तिलक. अनुसन्धानपद्धतिको परिचय, काठमाडौँः पाठ्यसामग्री पसल, पुनर्मुद्रण, वि.सं. २०५५ ।
अन्य सहायक सामग्रीहरू (लिंकहरू)
#(= http://aboutphysicsreformationcampaign.blogspot.com
$)= https://www.facebook.com/physicsreformationcampaign
$!= https://www.facebook.com/krpnepal
$@= http://accuratephysics.blogspot.com/2016/12/blog-post_30.html.
$#= Kunwar,
Bhabindra. "Re: Displacement with the help of final and initial velocity
by using the suvrt rule" Massage to [Accurate Physics (Ms)], Date.
1/4/2017.
$$= Kunwar,
Bhabindra. "Re: Test Of v2 = u2 + 2as And S = (u +
v)t/2 On The Bass Of The Rule SUVRT" Massage to [Accurate Physics (Ms)],
Date. 1/4/2017.
$%= http://www.softschools.com/formulas/physics/initial_velocity_
formula/81/
