चालका समीकरणहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका-Role of Duryantar and Praduryantar in the Equations of Motion

                                                                                                                               - भविन्द्र कुँवर

                                                                                              

१= सारसंक्षेप

विज्ञानसम्मत आधारमा पुष्टि गर्न नसकिने गरी स्थापित र प्रचलित प्रवेग नामक भौतिक शास्त्रीय परिमाण -२५ः ३ पृ= ५९४_ र त्यसमा आधारित सुवात समीकरणहरू -१, २, ३, ४ र ५_ ले सही र विज्ञानसम्मत परिणाम दिन नसकेका कारण समाधानका रूपमा सुव्रत समीकरणहरू -६, ७, ८, ९ र १०_ प्रस्तुत गरिएको थियो -२५ः १४, १५_ । यस अनुसन्धानमा प्रवेगलाई भूमिकामा राखेर पुरानोजस्तो स्वरूपमा चालका रेखीय समीकरणहरूको सम्भावना प्रस्तुत गर्न सकिने वा नसकिनेबारे स्पष्ट गरिएको छ । यस अनुसन्धानमा प्रवेगलाई प्रवेगकै स्वरूपमा राखेर वा सरदर प्रवेगका स्वरूपमा राखेर फरक कोणबाट पनि जाँच गर्ने र यसको विज्ञानसम्मत औचित्यको सम्भाव्यता भेट्न सकिन्छ कि भनी थप अध्ययनको प्रयाससमेत गरिएको छ । तर यी सबै प्रकारका जाँचहरूबाट प्रवेगजन्य सुवात समीकरणहरू प्रयोगयोग्य र विज्ञानसम्मत नभएको देखिएको छ । यसका लागि समाधानका रूपमा आएका सुव्रत समीकरण र तिनमा आधारित अन्य समीकरणहरूले केकसरी कार्य गर्दछन् भन्ने जानकारी यस अनुसन्धानपत्रमा दिइएको छ । यही सन्दर्भमा चालका रेखीय समीकरणहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको स्वरूप, भूमिका र औचित्यसम्बन्धी अध्ययन गर्ने कार्य यस पत्रमा भएको छ । यस क्रममा चालका अन्य समीकरणहरू पनि प्राप्त हुन पुगेका छन् ।

२= केही चाबी शब्दहरू

समयान्तराल, एकाइ समय, एकाइ समयान्तराल, सदिश दुरीको मात्रा, विस्थापन, गति, विस्थापन पद, पद, समग्र विस्थापन, सुरूपूर्वको दुरी, सुरूपूर्वको विस्थापन, विस्थापन, निहित विस्थापन, निर्मित विीस्थापन, पदसंख्या, गतिमा हुने वृद्धि, दुर्यान्तर, प्रदुर्यान्तर, अबरोधहीन क्षेत्र, एकनास लगानी बल, दुरी अन्तर, दुर्यान्तरको अस्तित्व, भविन्द्र कुँवर, चालका रेखीय समीकरण, चालका समीकरणमा दुर्यान्तर प्रदुर्यान्तरको भूमिका, सुव्रत, सुवात, सुवातदेखि सुव्रतसम्म, सुव्रतका केही प्रभावहरू, सुरुको गति, साझा अन्तर, अनुक्रम, श्रेणी, समयान्तरालको योगफल, पहिलो गति, अन्तिम गति, प्रवेग, आयामिक सूत्र, समय, दुरी परिवर्तनको दर, साझा दुरी अन्तर, सुवात समीकरण, सुव्रत समीकरण, सरदर गति, निहित सरदर गति, निर्मित सरदर गति ।

३= संकेतहरूबारे जानकारी

यस अनुसन्धानपत्रमा समाधानका रूपमा प्रस्तुत गरिएका समीकरणहरूका लागि x₀, u, d₀, v₁, d₁, D₀, D, r₀, r, v, V_av, d_av, v_av, T, t, n र s जस्ता संकेतहरूको प्रयोग गरिएको छ । यी संकेतहरूले क्रमशः पहिलो गतिपूर्वको दुरीको मात्रा, सुरुको गति, लगानी बल मापन गर्न थाल्नुपूर्व सुरुको गतिमा रहने भनिएको सुरुको दुरी वा सुरुको विस्थापन वा निहित विस्थापन (यो दुरी वा विस्थापनको उपस्थिति हुन वा नहुन सक्छ र उपस्थिति भएका बेला पहिलो गतिपूर्वको दुरीको मात्रामा समावेश हुन्छ), लगानी बल मापन भएपछिको पहिलो गति (अथवा पहिलो गति), लगानी बलपछिको पहिलो समयान्तरालमा भएको विस्थापन वा दुरी (अथवा पहिलो विस्थापन), पहिलो विस्थापन र सुरुको दुरीको अन्तर (अथवा सुरुको दुर्यान्तर), दोस्रो समयान्तरालमा भएको विस्थापन र पहिलो समयान्तरालमा भएको विस्थापनको अन्तर (अथवा पहिलो दुर्यान्तर), सुरुको समयान्तरालमा थपिन गएको विस्थापनको मात्रा (अथवा सुरुको प्रदुर्यान्तर), दोस्रो समयान्तरालमा थपिन गएको विस्थापनको मात्रा (अथवा पहिलो प्रदुर्यान्तर), पछिल्लो समयान्तरालमा पार भएको विस्थापनको मात्रा (अथवा अन्तिम गति), कुनै समयमा भएको विस्थापनलाई (पहिलो गतिपूर्वको विस्थापनसमेतको विस्थापनलाई होइन) उक्त समयले भाग गर्दा आउने सरदर गति (अथवा सरदर गति), सरदर गतिभित्रको विस्थापन (अथवा सरदर विस्थापन), सरदर गति र सुरुको गतिको अन्तर (अथवा निर्मित सरदर गति), समयान्तराल, बल लगानी भएको जम्मा समय (समयान्तराल र एक कम पदसंख्याको गुणनफल), पदसंख्या र विस्थापनलाई बुझाउँदछन् । 

हरेक समयान्तरालमा हुने विस्थापन वा सरदर विस्थापनलाई d_av ले संकेत गरिएको छ । x_p लाई बल लगानी गर्नुपूर्व पहिल्यै पार भइसकेको दुरी वा सुरूपूर्वको विस्थापन मानिएका खन्डमा विभिन्न समयान्तरालहरूका लागि x₀ Ö d₀ ± x_p हुन जान्छ । त्यसैले समग्र विस्थापनलाई सुरूपूर्वको विस्थापन, सुरुको विस्थापन र विस्थापनको योगफलका रूपमा लिन सकिन्छ । अर्थात् समग्र विस्थापन, S = x_p + d₀ + s = x₀ + s हुन्छ, जहाँ S, x_p, d₀ र s ले क्रमशः समग्र विस्थापन, बल लगानीपूर्वको विस्थापन, सुरुको विस्थापन र विस्थापन जनाउँछन् । विस्थापनलाई पनि निहित विस्थापन र निर्मित विस्थापन भनी दुई भागमा वर्गीकरण गर्न सकिन्छ । निहित विस्थापन भन्नाले अचल मानका रूपमा हरेक अन्तरालमा स्वतः निहित भएर आउने विस्थापन हो । सुरुको विस्थापनको मात्रा हरेक समयान्तरालमा कायम रहिरहेको हुन्छ । निर्मित विस्थापन भन्नाले लगानी बलका कारण देखिन जाने वा निर्माण हुने दुर्यान्तरहरूको योगफल हो । यस विषयलाई तलका उदाहरणहरूले थप स्पष्ट गर्दछन् । 

४. विषयसूची

१. सारसंक्षेप

२. केही चाबी शब्दहरू

३. संकेतहरूबारे जानकारी

४. विषयसूची

५. धन्यवादज्ञापन

६. विषयपरिचय

७. समस्याकथन 

८. उद्देश्य 

९. पूर्वकार्यको संक्षिप्त जानकारी

१०. नवीनता, औचित्य र महत्त्व

११. सीमा निर्धारण

१२. विधि, तथ्य र आधारहरू

१३. परिकल्पना

१४. प्रयोगशालीय र गणितीय परीक्षण

१५. सुवात समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको जाँच

१६. सुधारका सम्भाव्य उपायहरू

१७. एकरूपतामा देखिने समस्या र उदाहरण

१७.१. घटना १

१७.२. परीक्षण

१७.२.१. प्रचलित प्रवेगमा आधारित जाँच

१७.२.२. सरदर प्रवेगका आधारमा जाँच 

१८. समस्या समाधानका आधारहरू

१९. दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका र सम्बन्धित समीकरणहरू

१९.१. प्रमाण र परिणाम

२०. सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

२१. पूर्वाग्रहको प्रभावको जाँच

२२. आयामिक सूत्रका आधारमा जाँच

२३. अनुसन्धानपत्रको बैधता, विश्वसनीयता र प्रमाणिकता

२४. निष्कर्ष

२५. सन्दर्भसामग्रीसूची

५. धन्यवादज्ञापन

दुर्यान्तरसँग सम्बन्धित विविध पक्ष र विषयहरूको परीक्षण तथा प्रवचनका लागि आवश्यक सामग्री, स्थान, वातावरण तथा प्रबन्ध मिलाउने संस्थाहरूका साथै विशेषज्ञ, मित्र, आफन्तजन र शुभचिन्तकहरू धन्यवादका पात्र हनुहुन्छ । यस क्रममा त्रिभुवन विश्वविद्यालय, शिक्षाशास्त्र केन्द्रीय विभाग (एम. फिल. प्रोग्राम), दिल्लीबजार, त्रिभुवन विश्वविद्यालय, कीर्तिपुर, काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स् प्रा. लि., काठमाडौँ, युनाइटेड स्कलर्स एकेडेमी, काठमाडौँ, हेराल्ड इन्टरनेशनल कलेज, चक्रपथ, अरनिको इन्टरनेशनल एकेडेमी, ताल्चीखेल, भौतिक शास्त्र पुनर्निर्माण अभियान लगाएतका शिक्षण संस्था, अनुसन्धानकेन्द्र, अभियान तथा सम्पूर्ण संस्थाहरूमा हार्दिक धन्यवाद ज्ञापन गर्दछु । यस विषयसँग सम्बन्धित पुस्तक प्रकाशन गर्न र अभियानमूलक क्रियाकलाप अगाडि बढाउन सुझाव दिनुहुने र प्रोत्साहन गर्नुहुने प्रा. डा. लोकनारायण झा, सम्बन्धित विषयको प्रवचन, परीक्षण र अनुसन्धानहरूका लागि निरन्तर प्रोत्साहन गर्नुहुने प्रा. डा. विद्यानाथ कोइराला, डा. एकारत्न आचार्य, डा. नारायण उपाध्याय तथा सम्बन्धित परीक्षण तथा कार्यक्रमहरूमा सहभागी भई सकारात्मक ऊर्जा प्रदान गर्ने भौतिक शास्त्री बालबिक्रम खत्री, यसपूर्वका सम्बन्धित अनुसन्धानपत्रहरू गम्भिरतापूर्वक अध्ययन गरी वस्तुगत वस्तुपरक प्रतिक्रिया पठाउनुहुने डा. कमानसिंह थापा लगाएत सम्पूर्ण भौतिक शास्त्री, विज्ञानप्रेमि, परिवारजन, आफन्तजन, शुभचिन्तक, मित्रजन तथा सत्यतथ्य समाचार सम्प्रेषण गर्ने सन्चारमाध्यम तथा सम्पूर्ण सन्चारकर्मी महानुभावहरूमा हार्दिक आभार प्रकट गर्नुका साथै हार्दिक धन्यवाद दिन चाहन्छु । आगामी दिनहरूमा पनि यस खालका सहयोगहरूको निरन्तरताको अपेक्षा राख्दछु ।

६. विषयपरिचय

भौतिक विज्ञानमा विस्थापन, सुरुको गति, अन्तिम गति, प्रवेग र समयको मापन, वर्णन र सम्बन्धन गर्ने समीकरण १, २, ३, ४ र ५ वमोजिमका चालका रेखीय समीकरणहरूलाई सुवात समीकरणहरू भनिन्छ (२५ः २०, २१) । ती सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन सक्षम नभएको गणितीय तथ्यहरूका आधारमा प्रमाणित भएपछि पाँचवटा सुव्रत समीकरणहरू पत्ता लगाइएको हो (२५ः २७, २८, २९) । चालका यी रेखीय समीकरणहरूमा दुर्यान्तरले विशेष भूमिका निर्वाह गर्ने उल्लेख छ (२५ः ३०, ३१, ३२) । यस अनुसन्धानपत्रको उद्देश्य चालका रेखीय समीकरणहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले खेल्ने भूमिकाको अध्ययन गर्नु रहेको छ । 

दुर्यान्तर अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तु वा त्यसका अंशहरूमा कुनै परिमाणको बल लगानी हुँदा कुनै परिमाणको समयान्तरालमा सुरुको पदलाई पनि यथावत राख्दै अनुक्रमका स्वरूपमा रहने पदहरूजस्ता निकट विस्थापनहरूका बीचमा अन्तरका रूपमा रहने सदिश र आधारभूत आयामयुक्त भौतिक शास्त्रीय परिमाण हो (२५ः ३०, ३१, ३२) । यो कुनै दुई दुरीहरूबीचको अन्तर नभई निश्चित अवस्था र शर्तमा रही निकट विस्थापनहरूको अन्तरबाट थाह पाउन सकिने परिमाण हो । यो अंकगणितीय अनुक्रममा आउने पदहरूका बीचमा निहित साझा दुरीअन्तरका आधारमा पहिल्याइएको सदिश र निश्चित शर्तभित्र प्रमाणित हुने भौतिक शास्त्रीय परिमाण हो (२५ः ३ पृ. ५९४, २५ः १४, १५, ३०, ३१, ३२) ।

कुनै समयान्तरालको दुर्यान्तर प्रदुर्यान्तर हो । यो परिमाण आधारभूत परिमाण नभई तत्जन्य परिमाण हो र प्रचलित परम्पराको प्रवेगभन्दा भिन्न आयाम भएको र फरक क्षमता राख्ने भौतिक शास्त्रीय परिमाण हो । यसलाई केही वर्षदेखिका अनुसन्धानपत्रहरूमा साझा गतिअन्तर वा दुरी परिवर्तनको दर भनी चिनाइएको छ (२५ः ३ पृ २२८, २५ः १४, १५) । सजिलोका लागि हाल यसलाई यसको स्वभावको प्रतिनिधित्व हुने गरी प्रदुर्यान्तर भनी नामाकरण गरिएको हो । दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका र अनुप्रयोगबारे तल जानकारी गराइएको छ ।

ं

७. समस्याकथन 

यस अनुसन्धानपत्रमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको पृष्ठभूमि के हो र यिनीहरूको स्वरूप केकस्तो हुन्छ ? भन्ने विषयमा अध्ययन गरिएको छ । सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसकेपछि ती समीकरणहरूमा रहेका कमजोरीहरू र तिनका कारणहरू केके हुन सक्छन् ? प्रवेगसम्मिलित अन्य प्रकारका सुवात समीकरणहरूको विज्ञानसम्मत सम्भावना रहन्छ वा रहँदैन ? सुव्रत समीकरणहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले चालका कुनकुन रेखीय समीकरणहरूमा केकसरी भूमिका निर्वाह गर्दछन् ? दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले अन्य भौतिक शास्त्रीय परिमाणहरूसँग सम्बन्धित हुँदै चालका केकस्ता समीकरणहरू निर्माण गर्न सक्छन् ? जस्ता विभिन्न समस्याहरूमा केन्द्रित भई यस अनुसन्धान सम्पन्न गरिएको छ । दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको आधारबाट बन्ने चालका समीकरणहरू प्रमाणिक, विज्ञानसम्मत र प्रयोगयोग्य हुन्छन् वा हुँदैनन् र तिनीहरूको अनुप्रयोग के हो ? भन्ने विषयमा पनि यस अनुसन्धानले स्पष्ट गरेको छ ।

८. उद्देश्य 

यस अनुसन्धानको उद्देश्य समस्याकथनमा उठेका समस्याहरूको समाधानमा केन्द्रित छ । यस क्रममा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको पृष्ठभूमि र आधारभूत स्वरूप पहिल्याउने, सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसकेपछि ती समीकरणहरूमा रहेका कमजोरीहरू र तिनका कारणहरूको खाजी गर्ने, प्रवेगसम्मिलित अन्य सुवात समीकरणहरूको विज्ञानसम्मत सम्भावनाको खोजी गर्ने, सुव्रत समीकरणहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले चालका कुनकुन समीकरणहरूमा केकसरी भूमिका निर्वाह गर्दछन् ? भन्ने विषय पहिल्याउने, दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले अन्य भौतिक शास्त्रीय परिमाणहरूसँग सम्बन्धित हुँदै निर्माण गर्न सक्ने चालका समीकरणहरू पहिल्याउने, दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको आधारबाट बन्ने चालका समीकरणहरूको प्रमाणिकता जाँच गर्ने र तिनीहरू विज्ञानसम्मत र प्रयोगयोग्य हुन्छन् वा हुँदैनन् भन्ने कुरा पहिल्याई तिनीहरूको अनुप्रयोगको अध्ययन गर्नेजस्ता उद्देश्यहरूमा केन्द्रित भई यस अनुसन्धानपत्र सम्पन्न गरिएको छ ।

९. पूर्वकार्यको संक्षिप्त जानकारी

भौतिक शास्त्रमा समीकरण १, २, ३, ४ र ५ मा उल्लेख गरिएवमोजिमका चालका रेखीय समीकरणहरूलाई सुवात समीकरणका नामले चिनिन्छ (२५ः २०, २१) । यी समीकरणहरूलाई काइनामेटिक्सअन्तर्गत राखी अध्ययन गरिन्छ । यी समीकरणहरूले भौतिक विज्ञानमा लामो इतिहास पार गरिसकेका छन् । खास गरी इनर्सियाको नियममा ग्यालिलियोले आधार तयार गरेपछि डिस्क्रेट्सले त्यसलाई सामान्यीकृत गर्ने कार्य गरेको उल्लेख भएको पाइन्छ (२५ः १) । यही नियमका आधारमा चालका रेखीय समीकरणहरू पनि बनेका देखिन्छन् । 

गति वा चालसम्बन्धी अध्ययनलाई अरस्तुले थप प्रकाशित गरेको देखिन्छ  (२५ः १६ पृ. ६०–१) । पछि आएर अलहाजनको पनि यस कार्यमा उल्लेखनीय योगदान रहेको देखिन्छ । कोपर्निकस, ग्यालिलियो, केप्लर, डिस्क्रेट्स आदिले यस क्षेत्रमा थप आधार तयार पारेको देखिन्छ (२५ः १८ पृ. ५०४) । यस बीचमा ग्यालिलियोले वस्तुको चालसम्बन्धी अध्ययनलाई विशेष रूपले अगाडि बढाएको देखिन्छ । 

ग्यालिलियोकै कार्यका आधारमा विकसित गरेकाले न्युटनको चालको पहिलो नियमलाई ग्यालिलियोको इनर्सियाको नियम पनि भनिन्छ (२५ः १७ पृ. १) । ग्यालिलियोको उक्त अवधारणालाई पछि आएर डिस्क्रेट्सले सामान्यीकृत गरेको मानिन्छ (२५ः १) । यही इनर्सियाको नियमका आधारमा न्युटनको चालको दोस्रो नियमको पनि स्थापना गरिएको देखिन्छ । 

चालको दोस्रो नियम भौतिक शास्त्रको सबैभन्दा शक्तिशाली र महत्त्वपूर्ण नियमका रूपमा रहेको उल्लेख छ (२५ः १) । यही नियमको आधारमा भौतिक शास्त्रका कतिपय एकाइ, परिमाण र आयामिक मान्यताका आधारहरू तयार पारिएको पाइन्छ (२५ः ३ पृ. २३) । सुवात समीकरणमा उल्लेखनीय भूमिका निर्वाह गर्ने प्रवेग पनि यिनै वैज्ञानिकहरूका कार्यबाट विकसित हुँदै प्रयोगमा आएको हो । यसरी ग्यालिलियो, न्युटन आदि वैज्ञानिकहरूका योगदानहरूसँगै सुवात समीकरणहरूले पनि आफूलाई हालको स्वरूपसम्म विकास गर्दै आएको देखिन्छ (२५ः १४) । 

सुरुमा ग्रहहरूको सम्बन्धको अध्ययनमा सुवात समीकरणहरूको प्रयोग भएको पाइन्छ । चालमा आएको वस्तुले लिने समय तथा स्वतन्त्र पतनको अध्ययनमा यसले स्थान लिँदै गएको देखिन्छ (२५ः १ पृ. २२) । सन् १५४५ मा डोमिगों डे सोटोले ‘अरस्तुको भौतिक शास्त्र’ शीर्षकको पुस्तक प्रकाशन गरेपछि भौतिक विज्ञानको विकासमा टेवा पुगेको उल्लेख भएको पाइन्छ (२५ः १४, २४, २५) । यसको दुई दशकपछि ग्यालिलियोले प्रवेगको परीक्षण गरेको देखिन्छ । 

वैज्ञानिक ग्यालिलियोले प्रवेगको परीक्षण गरेर नयाँ तथ्य सार्वजनिक गरेका थिए । उनले सो परीक्षणपछि विस्थापनको मात्रा समयको वर्गसँग समानुपातिक हुन्छ भन्ने ठहर गरेका थिए । यस सन्दर्भमा उनले गुरुत्त्वप्रवेगको आधा मात्रा समानुपातिक अचलका रूपमा आउने निष्कर्षसहितको विस्थापन पत्ता लगाउन सकिने सूत्र दिएका थिए (२५ः २६) । ग्यालिलियोको उक्त परीक्षणको निष्कर्षअनुसार प्रवेग र समयको वर्गको गुणनफलको आधा मात्रासँग विस्थापन बराबर हुन्छ । ग्यालिलियोले पत्ता लगाएपछि विस्थापनको उक्त सूत्र विस्तारै विश्वभरि फैलिएको देखिन्छ । उनले दिएको त्यही सूत्रका आधारमा सुवात समीकरणहरू निर्माण भएको देखिन्छ । 

सुवातसँग सम्बन्धित प्रचलित भौतिक शास्त्रीय समीकरणहरूले वस्तुको सुरुको गति, अन्तिम गति, विस्थापनको मात्रा, एकनास बल लगानी भएको जम्मा समय र प्रवेगका बीचको सम्बन्ध वर्णन गर्दछन् । सुवात समीकरणहरूले प्रचलित परम्पराभित्र रही ती परिमाणहरूको मापन, आयामिक विश्लेषण र तुलनात्मक अध्ययन गर्ने कार्यसमेत हुँदै आएको देखिन्छ । भौतिक विज्ञानका क्षेत्रमा प्रचलित ती सुवात समीकरणहरू यसप्रकार रहेका छन्ः

v = u + at                                           -!_

s = (u+v)t/2                                       -@_

s = ut + (at²)/2                                   -#_

v² = u² + 2as                                     -$_

s = vt - (at²)/2                                    -%_

यी समीकरणहरूमा प्रयोग गरिएका संकेतहरू s, u, v, a / t ले क्रमशः विस्थापन, सुरुको गति, अन्तिम गति, प्रवेग र समयलाई बुझाउँदछन् । यी समीकरणमा भएका सम्बन्धका आधारमा भौतिक शास्त्रमा सम्बन्धित परिमाणहरू मापन गर्ने, वर्णन गर्ने तथा व्याख्याविश्लेषण गर्ने कार्य हुँदै आएको छ । 

न्युटन, एलम्बर्ट, इउलर, ह्यामिल्टन आदि वैज्ञानिक तथा गणितज्ञका कार्यहरूमा माथि दिइएका सुवात समीकरणको प्रभाव देखिन्छ । खास गरी प्रवेग र अन्तिम गतिसँग उनीहरूका कार्यहरू सम्बन्धित छन् । भौतिक विज्ञानका बल, शक्ति र अन्य परिमाणहरूमा यिनीहरूको भूमिका रहेको देखिन्छ । यी परिमाणहरूको काइनामेटिक्समा अध्ययन गर्ने क्रममा भने बल वा शक्ति निरपेक्ष भएर अध्ययन गरिने भनी उल्लेख गरिएको पाइन्छ  (२५ः २०, २५ः १४, १५) । चालसम्बन्धी सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसेकेका कारण पछिल्लो समयमा सुव्रत समीकरणहरू निर्माण गरिएको हो (२५ः २७, २८, २९) ।  

सुव्रत समीकरणहरूको आधार ‘भौतिक शास्त्रमा भएका केही त्रुटिहरूका खण्डन र समाधान’ शीर्षकको पुस्तकले उठाएका विषय, सवाल र विश्लेषणहरू हुन् (२५ः ३ पृ. २२८, २८३, २९०, ५९४) । त्यतिबेला प्रवेगको स्थापनामा त्रुटि हुन पुगेको देखिन्छ । जसका कारण प्रवेग र प्रवेगको प्रभावनिहित परिमाणहरूमा समस्या रहेको देखिएको छ (२५ः ३ पृ. २२८, २८३, २९०, २५ः १४, १५, २५ः ४ पृ. ८२) । विस्थापन लगाएतका विविध विषयमा निर्मित चालसम्बन्धी सुवात समीकरणहरूले दिएका समाधानमा पनि समस्या रहेको देखिएको छ (२५ः ३ पृ. ५९४) । 

‘एसएटिएम–१’ को सहयोगबाट विभिन्न स्थानमा पटकपटक प्रदर्शन गरेका परीक्षण, प्रस्तुत गरेका प्रवचन, सम्बन्धित अनुसन्धानमूलक पत्र तथा लेखहरू ती समीकरणहरूको विकास र स्थापनाका आधार हुन् (२५ः २, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३, ३३) । यी समस्याहरूको समाधानका लागि सूत्रहरूको निर्माण गरी चालसम्बन्धी सुव्रतका समीकरणहरू प्रस्तुत गरिएको छ (२५ः १४, १५) । 

‘न्युटनको चालको दोस्रो नियम कसरी गलत छ ?’ शीर्षकको पुस्तक र सम्बन्धित परीक्षणहरू पनि सुव्रत समीकरणका लागि थप आधार बन्न पुगेका छन् (२५ः ४ पृ. ८२) । यस पुस्तक, विभिन्न परीक्षण तथा प्रवचन कार्यहरूमा अन्य विषयसँगै प्रवेगको स्थापनामा भएको कमजोरी औँल्याउने र साझा दुरी अन्तरका आधारमा डाइनामिक्सका सूत्रहरू सच्चाउन सुझाव दिने आदि कार्यहरू हुँदै आएका छन् (२५ः ३ पृ. ५९४, २५ः ४ पृ. ८२, २५ः २, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३) ।

‘सुव्रत’ शब्दको पहिलो प्रयोग ‘सुवातदेखि सुव्रतसम्म’ शीर्षकको अनुसन्धानपत्रमा भएको हो । छोटकरीमा क, ग, ख, ब र त बाट ‘सुवात’ बनाइएझैँ क, ग, ख, च र त बाट ‘सुव्रत’ बनाइएको हो (२५ः १४, १५) । सुव्रतले विस्थापन, सुरुको गति, अन्तिम गति, दुरी परिवर्तनदर र समयलाई बुझाउँदछन् (२५ः १४, १५) । सुव्रत समीकरणहरूको अन्तर्तहमा रही दुर्यान्तरले पनि भूमिका निर्वाह गर्दछ (२५ः २७, २८, २९) । सुव्रत समीकरणमा अन्तिम गतिको भूमिकालाई जोडेर सम्बन्धहरू बनाइएको छ । सुव्रत समीकरणमा दुर्यान्तरनिहित सरदर गतिका आधारमा समेत विस्थापनको सूत्र निर्माण गरिएको देखिन्छ (२५ः १५) । 

अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै परिमाणको एकनास बल लगानी भएको अवस्थाको वर्णनमा आधारित भई सुव्रत समीकरणहरू निर्माण भएका छन् । सुव्रत समीकरणबाट सही विस्थापन पत्ता लगाउने कार्य भएको छ । यस क्रममा सकभर सुवात समीकरणमा भएका परिमाण र सम्बन्धका आधारमा पनि समाधान निकाल्ने प्रयास सम्बन्धित अनुसन्धानपत्रहरूमा गरिएको छ (२५ः १४) । तर ती प्रयासहरू विज्ञानसम्मत नहुने र बनावटी भई आयामिक प्रचलनभन्दा पनि भिन्न हुने देखिएपछि सुव्रत समीकरणहरू नै सम्बन्धित समाधानका रूपमा उपयोगी हुने देखिएको छ । ती सुव्रत समीकरणहरू निम्नवमोजिम रहेका छन्ः

v = u+(n-1)r                                      -^_

s = ut+(nrt)/2                                    -&_

s = T[(n-2)u+nv]/2                            -*_

s = vt-(n-2)rt/2                                  -(_

r = (d-d₀)/t                                         -!)_

यी समीकरणहरूमा प्रयोग भएका संकेतहरू, s, u, v, r, t, d₀, d, n / T ले क्रमशः विस्थापन, सुरुको गति, अन्तिम गति, दुरी परिवर्तनको दर, समय, प्रारम्भिक दुरी, आखिरी दुरी, दुरीका जम्मा पदसंख्या र समयान्तराललाई बुझाउँदछन् (२५ः १४) । 

सुव्रत समीकरणहरूमा प्रवेग मिश्रित परिमाण र समीकरणहरूमा झैँ एकाइ समयान्तरालको मात्र अपेक्षा गरिएको देखिँदैन । एउटै घटना वा अवस्थालाई फरकफरक समयान्तरालको आधारमा समेत मापन गर्न सकिने गरी सुव्रत समीकरणहरू प्रस्तुत गरिएको छ । परीक्षण तथा गणितीय जाँचका क्रममा सुव्रत समीकरणहरू सुवात समीकरणका तुलनामा वास्तविक परिणाम दिन सक्ने देखिएका छन् (२५ः १४, १५) । 

हालसम्म सुव्रत समीकरणहरूका बारेमा निकै कम अधययन भएको देखिन्छ । अरस्तुले अघि बढाएको गतिसम्बन्धी अध्ययनले अलहाजन, केप्लर, ग्यालिलियो, स्टिभेन, डिस्क्रेट्स, न्युटन आदि हुँदै आएर हाल सुवात समीकरणको स्वरूप प्राप्त गरेको देखिन्छ । सुवात समीकरणहरूमा देखिएका समस्यालाई पछिल्लो समयमा आएर सुव्रत समीकरणहरूले पूरा गरेका छन् । यस अनुसन्धानपत्रमा सुवात समीकरणहरूमा रहेका द्वैधता र कमजोरीहरूको अध्ययन गरी सुव्रतको क्षमता र क्षेत्रलाई थप विकास गर्ने कार्य भएको छ । सुव्रत समीकरणमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको स्पष्ट भूमिका, सुव्रतका ज्यामितीय प्रतिनिधित्वका आधार, सुव्रतमा निर्मित सरदर गतिको अन्तर्निहित भूमिका जस्ता विषयहरूको जानकारी यस पत्रमा गराइएको छ ।

१०. नवीनता, औचित्य र महत्त्व

सुव्रत समीकरण र तिनको भूमिकासम्बन्धी खोजहरू ‘सुवातदेखि सुव्रतसम्म’ र ‘सुव्रतका केही प्रभावहरू’ शीर्षकका अनुसन्धानपत्रहरूमा प्रकाशित गरिसकिएको छ । यस अनुसन्धानपत्रमा सुव्रत समीकरणहरूमा अन्तर्निहित भूमिका निर्वाह गर्ने दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको स्वरूप र भूमिकाका बारेमा पनि जानकारी गराइएको छ । यसका अतिरिक्त कुनै वस्तुको चालको मापन, वर्णन र तुलनाका लागि आवश्यक पर्ने थप नयाँ सुव्रत समीकरणहरूबारे जानकारी गराउने कार्य पनि भएको छ । सुवात समीकरणमा ज्यामितीय प्रतिनिधित्व तथा व्युत्पत्तिकरणमा केकस्ता समस्या थिए भन्ने कुराको समेत अध्ययन यस पत्रमा गरिएको छ । यसप्रकार अन्य अनुसन्धानपत्रहरूमा अध्ययन नगरिएका विषयहरूको अध्ययन गरिएकाले यस अनुसन्धानपत्रको नवीनता पुष्टि हुन पुगेको स्पष्ट हुन्छ । 

भौतिक विज्ञानमा प्रचलित सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसकेका कारण ल्याइएका सुव्रतका समीकरणहरूलाई अझ व्यापक रूपमा प्रयोगयोग्य बनाउने कार्य यस अनुसन्धानपत्रमा भएको छ । सुवात समीकरणमा एकै घटनाबाट पनि फरकफरक परिणाम दिने समस्या रहेकोबारे यस पत्रमा विस्तृत अध्ययन गरी सोदाहरण जानकारी गराउने कार्य भएको छ । यस क्रममा प्रवेगको स्थापनामा भएको त्रुटिलाई औँल्याउने र नयाँ समीकरणहरू प्रस्तुत गर्ने कार्य भएको छ । यसकारण यस पत्रले आफैमा छुट्टै महत्त्व राख्दछ । यसबाट यस पत्रको नवीनता, औचित्य र महत्त्व साबित हुन्छ ।

११. सीमा निर्धारण

आधारभूत परिमाणका रूपमा रहेका पिन्ड, लम्बाइ र समयका प्रचलित आयामिक मान्यताको सीमाभित्र रही यस अनुसन्धानपत्र सम्पन्न गरिएको छ । यस पत्रमा प्रस्तुत समीकरणहरू वैज्ञानिक प्रमाणहरूका आधारमा प्रमाणित गरिएको छ । समाधानका रूपमा प्रस्तुत गरिएका सुव्रत समीकरणहरू प्रवेगनिरपेक्ष रहेका छन् । ती समीकरणहरूलाई प्रचलित परम्पराको प्रवेग वा प्रवेगको भूमिका भएका कुनै पनि भौतिक शास्त्रीय नियम, सिद्धान्त, मान्यता, प्रमेय वा परिणामका आधारमा तुलना वा जाँच गर्नु त्रुटिपूर्ण हुनेछ । त्यसैले यी समीकरणको जाँचका लागि स्वयंसिद्ध तथ्य, सर्वस्वीकृत स्वीकृति र बैध नियमहरूको आधार लिनु आवश्यक हुनेछ । 

यस अनुसन्धानपत्र सुवात समीकरणहरूमा भएका समस्याहरूको थप जानकारी गराई भौतिक विज्ञानको सही मार्ग पहिल्याउनका लागि सुव्रत समीकरणहरूको सविस्तार जानकारी गराउने उद्देश्यमा केन्द्रित छ । यस क्रममा सुवात समीकरणहरूको ज्यामितीय आधारमा भएको समस्या र त्यसका कारण तयार पारिएका समीकरणीय स्वरूपमा निहित भुलचुकबारे जानकारी गराइएको छ । सुवात समीकरणमा भएका त्रुटिहरूले भौतिक विज्ञानका सबै क्षेत्रमा पार्ने प्रभावहरू र राख्ने सम्बन्धहरूको समग्र अध्ययन र विश्लेषण भने यस पत्रमा समावेश गरिएको छैन । 

यस अनुसन्धानपत्र सुव्रतको विस्तारका लागि आवश्यक समीकरणका साथै दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको स्वरूप र भूमिकाको जानकारी गराउने कार्यमा केन्द्रित छ । प्रस्तुत गरिएका समीकरणहरूको समग्र भौतिक शास्त्रीय भूमिकामा चाहिँ यो अनुसन्धानपत्र केन्द्रित छैन । मूलतः सुवात समीकरण र तीसँग सम्बन्धित परिमाणहरूमा भएका समस्या र कारणको पहिचान गरी समाधानका रूपमा दिइएका नयाँ समीकरणहरू वस्तुपरक रूपमा र वैज्ञानिक आधारमा प्रमाणित हुनुका वैज्ञानिक प्रमाण र स्वीकृत आधारहरू केके हुन् भन्ने कुरामा यो पत्र केन्द्रित छ । यी बाहेकका अन्य पक्ष वा विषयहरू यस पत्रमा समावेश छैनन् ।

१२. विधि, तथ्य र आधारहरू

तथ्यप्रमाणयुक्त बुँदा तर्क हो । प्रमाणसहितको साँचो कुरालाई तथ्य भनिन्छ (२५ः १९) । गणितीय प्रमाण, प्रमेय तथा भौतिक शास्त्रीय नियमहरू विभिन्न तथ्य र विज्ञानसम्मत तर्कका आधारमा पुष्टि गरिन्छ । प्रयोगशालीय परीक्षणहरू भौतिक शास्त्रका लागि अनिवार्य हुन्छन् । स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र बैध नियमहरू पनि कुनै प्रमेय, परिणाम वा सहायक प्रमेय सिद्ध गर्न आवश्यक हुन्छन् । यस अनुसन्धानपत्र यस्तै प्रकारका विश्वव्यापी वैज्ञानिक मान्यता, वस्तुपरक तथ्य र विज्ञानसम्मत तर्कहरूको आधारमा सम्पन्न गरिएको छ । 

स्वयंसिद्ध तथ्यहरू आफैमा सिद्ध र प्रमाणित तथ्यहरू हुन् । यिनका आधारमा यस अनुसन्धानपत्रमा दिइएका नयाँ नियम तथा प्रमेयहरू सिद्ध गरिएको छ । जोड, घटाउ, गुणन र भागका सम्बन्धहरूको प्रयोग पनि यस पत्रमा भएको छ । गणितीय स्वीकृति र स्वीकृत नियमहरूको समेत सिद्धान्तहरू प्रमाणित गर्ने क्रममा प्रयोग भएको छ । गणना र संख्याहरू नै गणितका आधारभूत विषयहरू हुन् । यिनीहरूकै आधारमा विभिन्न नियम र जाँच विधिहरूको निर्माण गरिएको हुन्छ । वर्णन, मापन र तुलनाका क्रममा ऐकिक नियम, ज्यामितीय प्रतिनिधित्वजस्ता विधिहरूलाई पनि आधार मानिएको छ ।

अबरोधहीन क्षेत्रमा कुनै परिमाणको बल वस्तु वा अंशहरूमा लाग्दा हुने विस्थापन पदहरू अंक गणितीय अनुक्रममा रहन्छन् । विस्थापन पदहरूमा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको उपस्थिति हुन्छ र यिनीहरूले विस्थापन, सुरुको गति, अन्तिम गति, समय, सरदर गति आदिमा भूमिका निर्वाह गरेका छन् । दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरसँग मिलेर बन्ने परिमाणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्त्व समेत प्रस्तुत गर्न सकिने देखिएको छ । यसप्रकारका विविध विषयहरूलाई आधार मानी यस अनुसन्धानपत्र सम्पन्न गरिएको छ ।

तथ्यपूर्ण प्रमाणबाट पुष्टि गरिएको यस अनुसन्धानपत्रमा कुनै पनि द्वैधता र अस्पष्टताहरू छैनन् । सम्भावित पूर्वाग्रहको प्रभाव र अनुसन्धानकर्ताको पूर्वधारणालाई शून्य बनाई तथ्यपूर्ण अध्ययन गर्ने कार्य यसमा भएको छ । पुस्तकालयीय अध्ययन पद्धति, प्रयोगशालीय परीक्षण, वैचारिक एवम् आनुभविक परीक्षण र गणितीय जाँचबाट प्राप्त नतिजाहरूका आधारमा अनुसन्धान पत्रको निष्कर्षलाई पुष्टि गरिएको छ ।

यस अनुसन्धानपत्रमा लक्षित उद्देश्यहरू स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र सर्वस्वीकार्य गणितीय नियमहरूका आधारमा पूरा गरिएको छ । बैध सामग्रीको प्रयोग गर्नुका साथै उद्देश्यमा केन्द्रित भई पटकपटक परीक्षण गर्ने र प्राप्त परिणामहरू सही ढंगले मापन, वर्णन र विश्लेषण गर्ने कार्य भएकाले अनुसन्धान पूर्णतः विश्वसनीय र बैध बनेको छ । गणितीय सर्वस्वीकृत मान्यताहरूमा आधारित भई विभिन्न मानहरू राख्दा सुवात समीकरणहरू गलत भएको पाइएको छ र सुव्रतका समीकरणहरू विज्ञानसम्मत देखिएका छन् । अनुकूल तालमेल, एकरूपता र स्थिरतामा जोड दिई साझा वैज्ञानिक अनुसन्धान पद्धति अपनाएर पूर्णतः वस्तुपरक अध्ययन गरिएकाले यस अनुसन्धानपत्र प्रमाणिक छ । 

१३. परिकल्पना

गणितीय मान्यताका आधारमा फरकफरक मानहरू राख्दा प्रचलित सुवात समीकरणहरू गलत भएको पाइएकाले ती समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वमा पनि कमजोरी भएको हुनुपर्छ । एउटै घटनालाई फरकफरक समयान्तरालका आधारमा वर्णन गर्दा फरकफरक मान आउने अवस्था कुनै भौतिक शास्त्रीय परिमाणले सिर्जना गरेको देखिन्छ भने चालका समीकरणहरूमा उक्त परिमाणको भूमिका विज्ञानसम्मत नभएको हुनुपर्छ । 

अवरोधहीन क्षेत्रमा रहेको कुनै वस्तु वा अंशहरूमा समान परिमाणको निरन्तर बल लागेका बेला समान समयान्तरालहरूमा पदका स्वरूपमा रहने सरल रेखीय सदिश विस्थापनका मात्राहरू (विस्थापन पदहरू) अंकगणितीय अनुक्रममा रहन्छन् भने तिनीहहरूलाई अंकगणितीय अनुक्रम र श्रेणीका स्वीकृत नियमबाट मापन, वर्णन र व्याख्या गर्न सकिनुपर्छ । यस खालको स्वीकृतिजन्य परिकल्पनाले यस अनुसन्धान थप गहिराइतर्फ उन्मुख हुन पुगेको छ ।

अंक गणितीय अनुक्रममा पदहरूका बीचमा हुने साझा अन्तरले विभिन्न तवरबाट भूमिका निर्वाह गर्ने भएकाले विस्थापन पदहरूका बीचमा पनि कुनै सदिश भौतिक शास्त्रीय परिमाण (दुर्यान्तर) रहेको हुनुपर्छ र उक्त परिमाणले विस्थापनको मात्रा, सुरुको गति, अन्तिम गति, प्रदुर्यान्तर, समयान्तराल आदिसँग कुनै न कुनै प्रकारले सम्बन्ध राखेको हुनुपर्छ भन्ने परिकल्पनाले पनि यहाँ भूमिका निर्वाह गरेको छ ।

अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तुमा लागेको बलपश्चात् दुर्यान्तरको मात्रा थप हुँदै जाँदा देखिने गतिका आधारमा निकालिने निर्मित सरदर गति र सुरुको गतिको योगफल नै सरदर गति अथवा सुरुको गतिसमेतको सरदर गति हुनुपर्छ र कुनै समयमा भएको विस्थापनको सम्पूर्ण मात्रामा दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका रहेको हुन्छ भने उक्त अवधिले विस्थापनको सम्पूर्ण मात्रालाई भाग गर्दा प्राप्त हुने सरदर गतिसँग पनि यिनीहरूले सम्बन्ध राखेको हुनुपर्छ भन्ने दुई महत्त्पूर्ण परिकल्पनाहरू यस अनुसन्धानका महत्त्वपूर्ण परिकल्पनाहरू हुन् ।

यसका साथै विभिन्न भौतिक शास्त्रीय परिमाणहरू जान्नका लागि प्रदुर्यान्तरका आधारमा निर्माण गर्न सकिने समीकरणहरूमा दुर्यान्तरको पनि भूमिका रहेको हुनुपर्छ र सुरुको गति, समय, अन्तिम गति, विस्थापन, सरदर गति, दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरका बीचमा पनि समीकरणीय सम्बन्धहरू भएको हुनुपर्छ भन्ने परिकल्पनाका आधारमा समेत सुव्रत समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र विस्तार गर्न सकिएको छ । यसरी फरकफरक र परस्परमा सम्बन्धित परिकल्पनाहरूका आधारमा यस अनुसन्धान कार्य सम्पन्न भएको छ । 

१४. प्रयोगशालीय र गणितीय परीक्षण

सर्वस्वीकृत गणितीय मान्यताका आधारमा फरकफरक मानहरू राख्दा प्रचलित सुवात समीकरणहरू गलत भएको पाइएकाले ती समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वमा पनि कमजोरी भएको हुनुपर्छ भन्ने कुरामा सत्यता भएनभएको यकिन गर्नका लागि निश्चित तथ्य र स्वीकृतिहरूमा आधारित भई परीक्षण, अध्ययन र विश्लेषण गर्नुपर्ने हुन्छ । 

सर्वप्रथम सुवात समीकरणहरूमा फरकफरक मानहरू राख्दा प्रचलित सुवात समीकरणहरू गलत भएको पाइएको हो वा होइन भन्ने कुरामा स्पष्ट हुनु आवश्यक हुन्छ । यसका लागि सम्बन्धित अनुसन्धानपत्रहरूमा प्रस्तुत गरिएका जाँचहरू हेर्न सकिन्छ । अनुसन्धानपत्रहरू र सम्बन्धित समाचारहरूमा दिइएका उदाहरणहरूले सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसकेको स्पष्ट रूपले प्रमाणित गर्दछन् (२५ः १४, १५, २७, २८, २९) ।

सुवात समीकरणहरूले सही परिणाम दिन नसकेको देखिएपछि सुवात समीकरणहरूको व्युत्पत्तिमा कमजोरी भएको हो वा होइन अथवा केकस्तो कमजोरी भएको हो ? भन्ने कुराको जाँच गर्नु आवश्यक हुन्छ । यसका लागि सुवात समीकरणहरूको व्युत्पत्तिमूलक अध्ययन गर्न र तिनीहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व मिलेनमिलेको जाँच गर्न सकिन्छ । अब सुवात समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको जाँच गरौँः 

v = u + at                                          -!_

s = (u + v)t/2                           -@_

अब दोस्रो समीकरणमा पहिलो समीकरणले दिने अन्तिम गतिको मान राख्दा, 

s = (u + u + at)t/2 = ut + at²/2        -#_

अब दोस्रो समीकरणमा पहिलो समीकरणबाट प्राप्त हुने समयको मान राख्दा,

s = (u + v) (v-u)/2a = v² - u²/2a

यसका आधारमा हामी प्राप्त गर्न सक्छौँ,

v² = u² + 2as                                               -$_

त्यसै गरी दोस्रो र तेस्रो समीकरणबाट,

s = vt - at²/2                                                -%_

१५= सुवात समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको जाँच

प्रवेगको उपस्थिति भएकाले सबै समयान्तरालका लागि समीकरण १ सही हुन सक्दैन किनकि दुई सेकेन्डलाई अन्तराल मानेर उही घटनालाई जाँच गर्दा भिन्न परिणाम आउँछ । यसबारे तल छलफल गरिएको छ । घटनाअनुसारको वास्तविक अर्थ नदिए पनि एकाइ समयान्तरालका लागि समीकरण १ ले दिने परिणाम सही नै हुने देखिन्छ । 

समीकरण १ को ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउने प्रचलित शैली उक्त समीकरणसँग नमिल्ने देखिन्छ किनकि यस समीकरणमा भएका परिमाणमध्ये सुरुको गति एकनास छ तर प्रवेग र समयको गुणनफलबाट प्राप्त हुने गति स्थिर वा एकनास छैन । समयको मानमा परिवर्तन आउने वा उतारचढाव हुने हुँदा यो गति स्थिर नभएको हो । ठाडो अक्षले कुनै पनि परिमाणको एकनास गति र समतल अक्षले समयको प्रतिनिधित्व गरेमा मात्र एकनास गति र समयको गुणनफलबाट विस्थापनको मात्रा प्राप्त हुन्छ । 

प्रवेग र समयको गुणनफलबाट बुझाइने वा प्राप्त गरिने गति सबै समयान्तरालहरूमा एकनास रूपले देखा पर्ने गति वा सरदर गति होइन । प्रचलित परम्पराको प्रवेगको मान्यताभित्र रहेर हेर्दा यसरी प्राप्त गरिने गति अन्तिम गतिबाट सुरुको गति घटाउँदा प्राप्त हुने गति हो । संयोगले कतै मिलेको जस्तो प्रतीत हुन सक्ने भयो भने पनि यसप्रकारले ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउने प्रयत्न गरिनु भौतिक विज्ञानको गणितीय आधार, वैज्ञानिक तर्क, सर्वस्वीकृत मान्यता वा स्वीकृतिभन्दा विपरीत हुने भएकाले यसलाई विज्ञानसम्मत आधारका रूपमा लिन असम्भव हुन्छ । 

ज्यामितीय प्रतिनिधित्वका लागि समकोणी त्रिभुजात्मक आधार लिएर समय र कुनै गतिको गुणन गर्ने र त्यस गुणनफललाई आधा गरिने प्रचलन त झन् निराधार र बनावटी बन्न पुगेको देखिन्छ । छड्के सतहमा कुनै वस्तु कुदाउँदा छड्के सतह जति धेरै भिरालो भयो त्यति नै छिटो कुनै वस्तु तलतिर खस्ने हुन्छ । यस अवस्थामा समय र दुरीको सम्बन्ध देखाउनका लागि कुनै छड्के रेखा वा डायग्राम आदिको प्रयोग गर्न सकिन्छ । बुझाउनका लागि बनाइएको यही कृत्रिम आकृतिका भरमा असम्बन्धित विषयलाई सम्बन्धित ठान्नु वा सादृश्यात्मक बनाउन खोज्नु सही हुन सक्दैन । फेरि यस्तो क्षेत्रफल भिरालो भित्तामा मात्र कोरिने भन्ने पनि हुँदैन । घटनाको अवस्थाको जस्ताको तस्तै चित्रण गर्ने कुरा पनि आउन सक्छ तर पूरै भिरालोमा खसालेर प्रवेगका आधारमा व्याख्या गर्न खोज्ने हो भने घटनाअनुसारको आकृति बनाउँदा समयको उल्लेख गर्ने कुनै अक्ष नभए पनि देखाउनुपर्ने अनिवार्यता कायमै रहन्छ ।

भौतिक विज्ञानमा यस खालको बढ्दो गतिका आधारमा निर्मित सरदर गति र सुरुको गतिसमेत गरी सरदर गति निकालेर ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउन सकिन्छ । निर्मित सरदर गति र समयलाई दुई अक्षमा राख्दा कुनै त्रिभुजात्मक आकृतिको बनावटी जुक्तिको प्रयोग गर्नुपर्ने हुँदैन । यस खालको कमजोरीले भौतिक शास्त्रका धेरै नियमहरूमा प्रभाव पारेको देखिन्छ । तसर्थ निराधार र बनावटी ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउने यस खालको शैली पनि समस्या निम्त्याउने अर्को कारण बन्न पुगेको छ ।

समीकरण २ लाई ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउँदा एकनास गति र अन्तिम समयान्तरालको गतिलाई जोडी दुईले भाग गर्ने र समयले गुणन गर्ने कार्य गरिएको देखिन्छ । एक त प्रचलित परम्पराको प्रवेग मिश्रित घटनामा यस्तो परिणाम नै आउँदैन भने अर्कातिर निर्मित सरदर गतिलाई स्थान नै दिइएको देखिँदैन । जसका कारण परिणाम गलत प्राप्त भइरहेको देखिन्छ । यसमा घटना र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको कुनै सम्बन्ध नै रहेको देखिँदैन । माथि समीकरण १ को विश्लेषणमा उल्लेख गरिएवमोजिमको गल्ती यसको ज्यामितीय प्रतिनिधित्वमा पनि दोहोरिएको देखिन्छ ।

समीकरण ३, ४ र ५ पनि १ र २ मा लिइएका आधारहरूबाट ज्यामितीय प्रतिनिधित्व वा व्युत्पत्तिमूलक गणितीय समाधान दिने कार्य गरिएको देखिन्छ । यसबाट यी पाँच वटै सुवात समीकरणहरू सही र विज्ञानसम्मत आधारबाट निर्माण गरिएको देखिँदैन । यसप्रकार यी समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र ज्यामितीय प्रतिनिधित्वहरूमा कमजोरी रहेको स्पष्ट हुन्छ ।

१६= सुधारका सम्भाव्य उपायहरू

ग्यालिलियो, डिस्क्रेट्स र न्युटनका कार्यहरूले प्रवेगका लागि आधार तयार पारेका थिए -२५ः १_ । त्यतिबेला प्रवेगको स्थापना गर्दा त्यसमा गम्भीर गल्ती हुन पुगेको देखिन्छ । जसका कारण प्रवेग र प्रवेगको प्रभावनिहित परिमाणहरूमा समस्या रहेको देखिएको छ -२५ः ३ पृ= २८४, २९०, २५ः १४, १५, २५ः ४ पृ= ८२_ । विस्थापन लगाएत सुवातका समीकरणहरू पनि गलत रहेको देखिएको छ -२५ः ३ पृ= ५९४_ । यी समस्याहरूको समाधानका लागि नयाँ सूत्रहरू निर्माण गर्ने क्रममा सुव्रतका समीकरणहरू प्रस्तुत गरिएको छ -२५ः १४, १५_ । यस्तो अवस्था आएपछि तत्कालका लागि सुव्रतका समीकरणहरू प्रयोग नगरीकनै सकभर सुवात समीकरणहरूलाई सुवातकै स्वरूपमा राखेर सुधार गर्न सकिन्छ कि ? भन्नेबारे पनि केही सम्भाव्य उपायहरूको चर्चा हुँदै आएको छ -२५ः १४_ । यसलाई अझ थप स्पष्ट गर्न प्रस्तुत गरिएका निम्नवमोजिमका सम्भाव्य समीकरणहरू हेरौँ ः

s = ut + at/2 + at²/2                       -!!_ -@%M !$_

एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र यसले समाधान दिन सक्छ तर यसको आयामिक सूत्र मिल्दैन । प्रवेगको स्थापनामा गल्ती भएका कारण यस समीकरणको आयामिक सूत्र नमिलेको देखिन्छ ।

s = ut + T×at/2 + at²/2                      -!@_ -@%M !$_

यस समीकरण भने समीकरण ११ बाट आयामिक सूत्र मिल्ने गरी व्युत्पत्ति गरेर ल्याइएको हो । यसले केवल एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र समाधान दिन सक्छ । 

s = (v₁ + u + at)t/2                                      -!#_

यस समीकरणलाई समीकरण १२ बाट व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ तर यो पनि एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र मिल्न पुग्छ । यहाँ v₁ (= u+aT) पहिलो गति हो ।

v² = 2as -  v₁v + u (v₁ + v)                -!$_   

यो समीकरण समीकरण १ र १३ बाट व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ । यस समीकरण पनि एकाइ समयका लागि मात्र सही देखिन आउँछ । 

s = ut + att₁                                                 -!%_ -@%M !$_

यो समीकरण एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र उपयोगी हुने देखिन्छ । यसको व्युत्पत्तिको कुनै स्वीकृत आधार भने हुँदैन । एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा हिसाब मिलाउनका लागि यस खालको बनावटी जुक्ति पनि अपनाउन सकिन्छ भनी नमुना दिइएको हो ।

माथि प्रस्तुत गरिएका समीकरणहरू ११, १२, १३, १४ र १५ सम्भाव्य जुक्तिका लागि बनावटी रूपमा प्रस्तुत गरिएको हो । यी सबै समीकरणहरू एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र कामचलाउ समाधान हुन सक्ने देखाइएको छ । यी समीकरणहरूको संक्षिप्त व्याख्या गरी यसबारे थप स्पष्ट बुझ्न सकिन्छ । 

समीकरण ११ प्रवेगको भूमिकाका कारण एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र मिल्न जान्छ । अन्य परिमाणका समयान्तरालमा मिल्न जाँदैन । त्यसैले यो समीकरण सीमित सन्दर्भमा प्रयोगयोग्य प्रतीत हुन्छ । तर अन्तर्तहमा नियाल्दा घटना र समीकरणका बीचमा भने कुनै सम्बन्ध भएको पाइँदैन । 

समीकरण १२ मा आयाम मिलाउनका लागि समयान्तरालको संकेत राखिएको छ । यो पनि समीकरण ११ जस्तै गरी बनावटी सम्भावनाका रूपमा प्रस्तुत गरिएकाले एकाइ समयान्तरालका लागि मात्र मिल्न जाने देखिन्छ । पहिलो गतिका लागि सुरुको गतिपछि १ समयान्तराल बराबरको समय लाग्ने हुन्छ । त्यसैले समीकरण १३ समीकरण १२  र १ बाट मिलाएर भ्रमपूर्ण व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ । 

समीकरण १ र १३ बाट मिलाएर व्युत्पत्ति गर्दा समीकरण १४ प्राप्त गर्न सकिन्छ । समीकरण १४ पनि कामचलाउ र बनावटी समाधान हुन पुग्छ । एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा यसले सही समाधान दिएको प्रतीत भए पनि वास्तविक घटनाभन्दा फरक र बेमेल छ । यसले फरकफरक समयान्तरालका सन्दर्भमा पनि काम गर्न सक्दैन । 

समीकरण १५ मा पनि फरकफरक समयान्तरालको क्षमता निहित छैन । यो दुई वटा भिन्नभिन्न समयको कल्पना गरेर कुनै समाधान मिलाउन गरिएको बनावटी प्रयासको उपज हो । त्यो वास्तविक सर्वस्वीकृत विज्ञानसम्मत मान्यतामा आधारित समाधान होइन । यो आधारभूत मानाइ सही नभइकन बनाइएको कामचलाउ सम्भावना हो । यसरी माथिका ११, १२, १३, १४ र १५ समीकरणहरू भ्रमका कारण उत्पन्न हुन सक्ने सम्भावनाका रूपमा मात्र प्रस्तुत गरिएको हो ।

यसरी सुवातका पाँचवटा समीकरणहरूको व्युत्पत्ति र स्थापना विज्ञानसम्मत र स्वीकृत नियमका आधारबाट नभएको पाउन सकिन्छ । सुवातका समीकरणहरू प्रमाणित गर्दा स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र वैध नियमहरूको कुनै आधार लिइएको देखिँदैन । प्रयुक्त तार्किक आधारहरू पनि विज्ञानसम्मत देखिएका छैनन् र ती समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्त्वमा थप समस्या देखिन गएको छ । 

१७= एकरूपतामा देखिने समस्या र उदाहरण

१७=१= घटना १

मानौँ अवरोधहीन क्षेत्रमा रहेको कुनै वस्तुमा कुनै परिमाणको एकनास बल निरन्तर रूपले १ मिनेटसम्म लगाइएको छ र उक्त वस्तुको प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड छ । यस्तो अवस्थामा १ मिनेटसम्म भएको विस्थापनको मात्रा कति हुन्छ ?

१७=२= परीक्षण

१७=२=१= प्रचलित प्रवेगमा आधारित जाँच

१= घटना १ मा एकएक सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यतिबेला समयान्तराल १ सेकेन्ड भएकाले प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १८०० मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ३० मिटरले कम देखियो । तर सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

२= घटना १ मा दुईदुई सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल २ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित मान्यताको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा लागत समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७७२ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ५८ मिटरले कम देखियो । तर सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

३= यस घटनामा तीनतीन सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ३ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७४४.५ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ८५.५ मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

४= सोही घटनामा चारचार सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ४ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसको समाधानका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७१८ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ११२ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर हुन जान्छ ।

५= उक्त घटनामा पाँचपाँच सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ५ सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १६९२=५ मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा १३७=५ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

६= घटना १ मा तीसतीस सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ३० सेकेन्ड लिँदा प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र जम्मा समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १३८० मिटर हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४५० मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा भने १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

कुनै परिमाणको विस्थापनलाई जसरी एकाइ समयान्तरालमा भएका विस्थापनहरूको योगफलका रूपमा लिन सकिन्छ त्यसरी नै फरकफरक परिमाणका समयान्तरालहरूमा भएका विस्थापनहरूको योगफलका रूपमा पनि लिन सकिन्छ । यस खालको परिणाम निकाल्न बनाइने नियम वा समीकरणले दुवै अवस्थामा समाधान दिन सक्नुपर्ने हुन्छ । सुवात समीकरण ३ ले यस खालको क्षमता नराखेको देखियो । उही घटना र परिमाणलाई उक्त समीकरणले स्थिर नतिजा दिन सकेको देखिएन र विस्थापनजस्तो परिमाणलाई सिंगोटुक्रे तथ्यका आधारमा टुक्राउन र जोड्न सक्ने क्षमता राखेको देखिएन । तर सुव्रत समीकरण ७ भने सक्षम रहेको देखियो ।

यस घटनामा जम्मा समय ६० सेकेन्डको अवधि रहेकाले उक्त समयलाई १–१, २–२, ३–३, ४–४, ५–५ र ३०–३० सेकेन्डका समयान्तरालहरूमा विभाजन गरी तत्तत् समयान्तरालहरूमा पार भएका विस्थापनहरूको योगफल निकाल्ने र सुवात समीकरणले उक्त योगफल दिन सक्छ वा सक्दैन भन्ने कुराको जाँच गर्ने कार्य भएको छ । यसो हुँदा जम्मा विस्थापनको वास्तविक मात्रा हरेकचोटि समान देखिएको छ तर सुवात समीकरणका आधारमा उक्त विस्थापन पत्ता लगाउँदा भने हरेक चोटि फरकफरक परिणामहरू प्राप्त भएका छन् । 

यसरी १–१, २–२, ३–३, ४–४, ५–५ र ३०–३० सेकेन्डका -अथवा १–१ सेकेन्ड र तीभन्दा बढी परिमाणका_ समयान्तरालहरूका आधारमा जाँच गर्दा समान नतिजा आउँछ वा आउँदैन भनी जाँच गर्ने क्रममा समीकरण ३ र समीकरण ७ ले दिने नतिजाहरू फरकफरक देखिएका छन् । यहाँ सबै समयान्तरालहरूको आधारमा जाँच गर्दा समीकरण ७ वमोजिम सही नतिजा हासिल भएको छ भने समीकरण ३ वमोजिम जाँच गर्दा हरेकचोटि वास्तविकभन्दा भिन्नभिन्न परिणामहरू प्राप्त भएका छन् । 

यी जाँचहरूमा सुवात र सुव्रत -दुवै_ समीकरणहरूका लागि १–१ भन्दा बढी समयान्तरालका आधारमा जाँच गर्दा बल लगानी भएपछिको पहिलो समयान्तरालमा पार भएको विस्थापनलाई सुरुको गतिभित्रको विस्थापन र उक्त समयान्तरालमा देखिएको गतिलाई सुरुको गति मानेर जाँच गरिएको छ । सुवात समीकरणका लागि भने सरदर प्रवेगको पनि सवाल उठाइने सम्भावना हुन सक्छ भनी सरदर प्रवेगका आधारमा समेत जाँच गरिएको छ । सुव्रत समीकरणहरू भने सरदर प्रवेगका आधारमा निर्मित समीकरणहरू होइनन् । 

गणितीय प्रमाणहरूलाई आधार मानिएका १–१ बढी समयान्तरालका सन्दर्भसँग जोडिएका यी जाँचहरूका आधारमा हेर्दा स्थिर अवस्थामा रहेको वस्तुमा देखिन जाने पहिलो प्रदुर्यान्तर र त्यसपछिका प्रदुर्यान्तरका बीचमा समानता नभएको देखिन्छ । यतिबेला अवरोधहीन क्षेत्रमा स्थिर अवस्थामा रहेको वस्तुमा एकनास बल लागेपछि वस्तुले पहिलो समयान्तरालमा पार गर्ने दुरी वा देखिन जाने दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तर त्यसपछिका दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तरहरू भन्दा कम भएको देखिन जान्छ । त्यसैले सुरुको गति शून्य नमानेर शून्यको हाराहारी वा सोभन्दा बढी भएको मान्दा सबै समयान्तरालका लागि एकै तरिकाबाट सही नतिजा निकाल्न सजिलो हुने देखिन्छ ।

उदाहरणका लागि माथिको घटनाका सन्दर्भमा २–२ सेकेन्डको समयान्तराल लिँदा पहिलो समयान्तराल -२ सेकेन्ड_ मा ३ मिटर विस्थापन हुन्छ । यतिबेला पहिलो दुई सकेन्डको समयान्तरालको दुर्यान्तर ३ मिटर हुन्छ र प्रदुर्यान्तर ३ मिटर प्रति दुईसेकेन्ड हुन्छ । यसअनुसार त्यसपछिका समयान्तरालमा भने ७ मिटर, ११ मिटर, १५ मिटर आदि विस्थापन पदहरू हुने भएकाले पछिल्ला समयान्तरालहरूमा देखिने सबै दुर्यान्तरहरू ४ मिटर हुन्छन् र प्रदुर्यान्तरहरू ४ मिटर प्रति दुई सेकेन्ड हुन्छन् । यहाँ समान समयान्तरालमा ३ मिटरको दुर्यान्तर पनि देखियो र ४ मिटरका दुर्यान्तरहरू पनि देखिन पुगे । यसले स्थिर अवस्थाको वस्तुमा एकनास बल लगानी भएपछि पहिलो समयान्तरालमा देखिने दुर्यान्तर पछिल्ला समयान्तरालमा दुर्यान्तरसँग बराबर हुँदैन भन्ने देखाउँछ ।

पहिलो घटनाका लागि २–२ सेकेन्डका समयान्तरालहरू छनौट गर्दा पहिलो समयान्तरालपछिका २९ वटा समयान्तरालमा भएका विस्थापनहरूको योगफल -यस उदाहरणमा १८२७ मिटर_ प्राप्त गर्न सुव्रत समीकरण ७ को प्रयोग गरिन्छ र पहिलो समयान्तरालमा पार भएको विस्थापनको मात्रा -३ मिटर_ जोडिन्छ । जसबाट समग्र विस्थापन १८३० मिटर हुन जान्छ । यसरी प्राप्त हुने परिणाम वास्तविक परिणामसँग पनि बराबर हुन्छ । सुवात समीकरण ३ भने यसरी मापन गर्दा पनि सही नतिजा दिन सक्षम हुँदैन ।

यस घटनाको विश्लेषणबाट कुनै वस्तुले शून्य अवस्थाबाट दुर्यान्तर वा प्रदुर्यान्तर बढाउँदै गएका बेला पहिलो समयान्तरालमा पार भएको दुरी दोस्रो समयान्तरालमा नदेखिन पनि सक्छ भन्ने देखियो । त्यसैले एकाइ वा त्योभन्दा बढी परिमाणका समयान्तरालहरूमा पहिलो समयान्तरालमा भएको विस्थापनलाई पहिल्यै पार भएको दुरी मान्ने र त्यसपछिका समयान्तरालहरूमा भएका विस्थापनलाई समीकरण ७ को सूत्रबमोजिम -१ मिटर±१८२९ मिटर Ö १८३० मिटर, ३ मिटर±१८२७ मिटर Ö १८३० मिटर आदिजसरी_ निकाल्नु पर्छ ।

१७=२=२= सरदर प्रवेगका आधारमा जाँच 

१= घटना १ मा एकएक सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यतिबेला समयान्तराल १ सेकेन्ड भएकाले सरदर प्रचलित परम्पराको प्रवेग १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १८०० मिटर हुन आउँछ । यहाँ सुवात समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ३० मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकालिँदैन र विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

२= यस घटनामा दुईदुई सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल २ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९९१६ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन जान्छ । यसको समाधानका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा भने विस्थापनको जम्मा मात्रा १७८४=८८ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ सुवात समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४५=१२ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

३= यस घटनामा तीनतीन सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । यसका लागि समयान्तराल ३ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९८३३३ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७६९=९९४ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ६०=००६ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

४= घटना १ मा चारचार सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ४ सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=९७५ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि सुवात समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७५५ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ७५ मिटरले कम देखियो । सुव्रत समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

५= यस घटनामा पाँचपाँच सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ५ सेकेन्ड लिँदा परम्परित सरदर प्रवेग ०=९६६६६ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १७४० मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ९० मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

६= घटना १ मा तीसतीस सेकेन्डमा पार भएका विस्थापनहरूको जम्मा वास्तविक योगफल निकाल्दा १८३० मिटर हुन आउँछ । समयान्तराल ३० सेकेन्ड लिँदा सरदर प्रवेग ०=७५८३५ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड र समय ६० सेकेन्ड हुन आउँछ । यसका लागि समीकरण ३ प्रयोग गर्दा विस्थापनको जम्मा मात्रा १३६५=०३ मिटर प्राप्त हुन आउँछ । यहाँ समीकरण ३ ले दिने विस्थापनको मात्रा वास्तविक विस्थापनभन्दा ४६४=९७ मिटरले कम देखियो । समीकरण ७ का आधारमा जाँच गर्दा भने सरदर दुर्यान्तर वा सरदर प्रदुर्यान्तर निकाल्नु पर्दैन र वास्तविक विस्थापनको मात्रा १८३० मिटर नै हुन जान्छ ।

समयान्तरालको मात्रा बढाउँदा सरदर प्रवेगको मात्रा बढेर जान्छ । जस्तो एकाइ समयान्तरालमा ० मिटर, १ मिटर, २ मिटर, ३ मिटर, ४ मिटर, === को अनुक्रममा रहेका विस्थापनहरूका बीचमा प्रचलित सुवात समीकरणहरूमा प्रवेगको मात्रा १ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । समयान्तरालको मात्रा बढाएर २ सेकेन्ड बनाएका खन्डमा पहिलो २ सेकन्डमा भएको विस्थापनको मात्रा ३ मिटर प्रति दुईसेकेन्ड प्रति दुईसेकेन्ड र दोस्रो २ सेकेन्डमा ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । खासमा यतिबेला एकाइ समयान्तरालका तुलनामा दुई सेकेन्डको समयान्तरालका बेला प्रवेगको मात्रा बढ्नुपर्नेमा पहिलोमा कम र दोस्रोमा उही नै रहन पुग्छ । 

समाधानका लागि दिइएका सुव्रत समीकरणहरूमा भने यस्ता अवस्थामा आएका पहिलो समयान्तरालका विस्थापनलाई सुरुको विस्थापन मान्नुका साथै यस अवस्थाको गतिलाई सुरुको गति मानिएको छ र सोहीअनुसार समाधान दिइएको छ । परम्परित प्रवेगमा पनि सरदर प्रवेग निकाल्नु उपयुक्त हुँदैन तर कतै यस खालका जिज्ञासा र सम्भावना पनि आउन सक्ने भएकाले सोबारेमा अग्रिम जानकारी गराइएको हो । यसप्रकारले सुवात समीकरणहरूमा फरकफरक परिमाणका समयान्तरालहरू लिएर हेर्दा फरकफरक विस्थापनका मात्राहरू हासिल गर्न सक्छौँ । सुव्रत समीकरणहरूले भने सबै परिमाणका समयान्तरालहरूका लागि काम गर्दछन् ।

१८= समस्या समाधानका आधारहरू

अंक गणितीय अनुक्रममा रहेका जुनकुनै अनुक्रमहरूलाई अनुक्रमको प्रचलित र स्वीकृत नियमका आधारमा वर्णन गर्न सकिन्छ । अवरोधहीन क्षेत्रमा रहेको कुनै वस्तु वा अंशमा समान परिमाणको निरन्तर बल लागेका बेला हरेक समान समयान्तरालहरूमा पदका स्वरूपमा देखिने सरल रेखीय सदिश विस्थापनका मात्राहरू -अथवा विस्थापन पदहरू_ अंकगणितीय अनुक्रममा रहेको देखिन्छ । यसका आधारमा तिनीहहरूलाई अंकगणितीय अनुक्रम र श्रेणीका स्वीकृत नियमहरूबाट मापन, वर्णन र व्याख्या गर्न सकिने पुष्टि हुन्छ । 

अंक गणितीय अनुक्रममा रहेका क्रमिक पदहरूका बीचमा साझा अन्तर हुने गर्दछ । उक्त साझा अन्तरले अनुक्रमको संरचनामा भूमिका निर्वाह गर्ने भएकाले विस्थापन पदहरूका बीचमा पनि कुनै सदिश भौतिक शास्त्रीय परिमाणले सोही अनुरूप भूमिका निर्वाह गरिरहेको हुन्छ । यसलाई केही समयदेखि साझा दुरी अन्तर, साझा विस्थापन अन्तर आदि नामाकरण गरिएको देखिन्छ -२५ः ३ पृ= ५५६, ५९४, २५ः १४, १५_ । पछिल्लो समयमा यस परिमाणलाई दुुर्यान्तर भनी नामाकरण गरिएको छ -२५ः ३०, ३१, ३२_ । यसर्थ उक्त परिमाणले अनुक्रमको संरचनाभित्र सम्बन्धित भएर आउने विस्थापनको मात्रा, सुरुको गति, अन्तिम गति, प्रदुर्यान्तर, समयान्तराल आदिसँग कुनै न कुनै प्रकारले सम्बन्ध राखेको हुन्छ । 

कुनै पनि वस्तुको दुई भिन्नभिन्न परिमाणका गतिका आधारमा निकालिएको योगफलबाट दुवैको साझा सरदर गति निकाल्न सकिन्छ । यस आधारमा अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तुमा लागेको बलपश्चात् वस्तुको निर्मित सरदर गति र सुरुको गतिको योगफल सरदर गति अथवा सुरुको गतिसमेतको सरदर गति हुन्छ । 

अंक गणितीय अनुक्रम र श्रेणीमा साझा अन्तरले भूमिका निर्वाह गरेको हुन्छ । सम्पूर्ण पदहरूको जम्मा योगफल निकाल्दा प्राप्त हुने परिणामलाई साझा अन्तरको जम्मा संख्याले भाग गर्दा आउने परिणाम सरदर पद हो । यस्तो पदलाई साझा अन्तरका संख्यासँग गुणन गर्दा सम्पूर्ण पदहरूको योगफलसँग बराबर हुन्छ । त्यसै गरी कुनै समयमा भएको विस्थापनको सम्पूर्ण मात्रामा पनि दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरले भूमिका निर्वाह गरेका हुन्छन् । उक्त अवधिले विस्थापनको  मात्रालाई भाग गर्दा प्राप्त हुने गति सरदर गति हो । यसबाट दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको सम्बन्ध सरदर गतिसँग पनि रहेको हुन्छ भन्ने कुरा स्पष्ट हुन्छ ।  

यसपूर्व दुरी परिवर्तन दर वा साझा गतिअन्तर आदिका नाममा प्रयुक्त प्रदुर्यान्तर नामक परिमाण पनि दुर्यान्तरका आधारमा निर्मित भौतिक शास्त्रीय परिमाण हो । त्यसैले भौतिक शास्त्रीय परिमाणहरू जान्नका लागि प्रदुर्यान्तरका आधारमा निर्माण गर्न सकिने समीकरणहरूमा दुर्यान्तरको पनि भूमिका रहेको हुन्छ । यसका साथै सुरुको गति, समय, अन्तिम गति, विस्थापन, निर्मित सरदर गति, सरदर गति, दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरका बीचमा पनि समीकरणीय सम्बन्धहरू रहेका हुन्छन् । 

१९= दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरको भूमिका र सम्बन्धित समीकरणहरू

s = V_avt = (u+v_av)t                        -!^_

s = (v₁+v)t/2, V_av =       (v₁+v)/2     -!&_

S = x₀ + d₀(n-1) + Dn(n-1)/2           -!*_

S = x₀+ut+(rt²)/2T+rt/2                  -!(_

V_av  = (u+v_av)                             -@)_

d_av = d₀+Dn/2                             -@!_

d_av = d₀+rnT/2                             -@@_

V_av = u+(rt/2T + r/2)                      -@#_

V_av = u+nr/2                               -@$_

D = rT, r = D/T                            -@%_

१९=१= प्रमाण र परिणाम

फरकफरक समयान्तरालमा भएका फरकफरक परिमाणका विस्थापनको योगफलको भूमिकाबाट प्राप्त हुने विस्थापन सरदर गति र समयको गुणनफलबाट प्राप्त हुने भएकाले उपर्युक्त समीकरण १६ स्वतः सिद्ध गर्न सकिन्छ । समीकरण १७, १८ र १९ पनि अनुक्रम र श्रेणीको सर्वस्वीकृत नियमका आधारमा सही छन् । यस अवस्थामा पहिलो गतिपूर्वको विस्थापन पनि छ भने त्यो छुट्टै जोड्नुपर्ने हुन्छ ।

गणितीय -जोड तथ्यका_ आधारमा जाँच गर्दा समीकरण २०, २१, २२, २३ र २४ स्वतः प्रमाणित छन् । कुनै पनि उस्तै प्रकृति वा आयामका परिमाणहरू वा एउटै परिमाणका अंशहरूको योगबाट समग्र स्वरूप प्राप्त गर्न सकिने हुनाले यी समीकरणहरू प्रमाणित छन् । त्यसै गरी गणितीय सर्वस्वीकृत मान्यताका आधारमा समीकरण २५ लाई प्रमाणित गर्न सकिन्छ । यी समीकरणहरूलाई उदाहरणबाट स्पष्ट गरौँ ।

मानौँ अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै गतिमा रहेको वस्तुमा कुनै परिमाणको एकनास बल लगानी गरिएको छ । तब निश्चित समयान्तरालका आधारमा मापन गर्दै जाने हो भने बल लगानी भएपछि देखिएका विस्थापनका मात्राहरू निम्नबमोजिमको अनुक्रम -क_ भित्र निहित भएको पाउन सकिनेछ ः 

d₀, d₀+D, d₀+2D, d₀+3D, d₀+4D, ..., d₀+(n-1)D    -cg'qmd s_

अब बल लगानी भएको अवधिभरिका विस्थापनहरूको मात्रा जोडौँ । उक्त योगफल नै सो अवधिभरि भएको जम्मा विस्थापनको मात्रा हो । यसबाट समीकरण १८ प्राप्त गर्न सकिनेछ र समीकरण ७ र १९ पनि व्युत्पत्ति गर्न सकिन्छ । साथै निम्नानुसार संकेतन गर्दा अन्य समीकरणहरू पनि प्राप्त गर्न सकिन्छ ः

u = d₀/T, v₁ = d₀+D/T, v₂ = d₀+2D/T, v₃ = d₀+4D/T, ..., v_(n-1) = d₀+(n-1)D/T (= v)

माथिका समीकरणहरूले केकस्ता नतिजाहरू दिन्छन् भन्ने कुराबारे स्पष्ट हुनका लागि कुनै सानो अनुक्रमलाई लिन सकिन्छ । सजिलोका लागि मानौँ कुनै अवरोधहीन क्षेत्रमा कुनै वस्तु निरन्तर दुर्यान्तरित भइरहँदा दुरीजन्य पदहरू मिटरमा ०, १, २, ३, ४ छन् भने दुर्यान्तर १ मिटर र प्रदुर्यान्तर १ मिटर प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । बल लागेको समय ४ सेकेन्ड, सुरुको गति ० मिटर प्रतिसेकेन्ड, अन्तिम गति ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड, निर्मित सरदर गति २.५ मिटर प्रतिसेकेन्ड, सरदर गति २.५ मिटर प्रतिसेकेन्ड, पदसंख्या ५, समयान्तराल १ सेकेन्ड, पहिलो गति १ मिटर प्रतिसेकेन्ड, विस्थापन १० मिटर र समग्र विस्थापन १० मिटर हुन्छ । समीकरण १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५ यस उदाहरणका सन्दर्भमा पनि सही देखिन्छन् ।

यस्तो अवस्थामा पदसंख्या ४ मानेर पनि समस्या समाधान निकाल्न चाहेमा समय ३ समयान्तराल मान्नुपर्ने हुन्छ । यतिबेला सुरुको गति १ मिटर प्रतिसेकेन्ड, पहिलो विस्थापनपूर्वको दुरीको मात्रा १ मिटर, दुर्यान्तर १ मिटर, पहिलो गति २ मिटर प्रतिसेकेन्ड र अन्तिम गति ४ मिटर प्रतिसेकेन्ड र प्रदुर्यान्तर १ मिटर प्रतिसेकेन्ड हुन्छ । तब समीकरण ७, १६, १७, १८ र १९ बमोजिमको विस्थापनको मात्रा १० मिटर हुन आउँछ । यसप्रकारले सुव्रत समीकरणका सूत्र प्रयोग गरी फरक विधिबाट पनि समाधानहरू पहिल्याउन सकिन्छ । 

२०. सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

समीकरण १६ मा सुरुको  वा प्रारम्भिक गति र अन्य थप गतिहरूको सरदर मान निकालिएको छ । सुरुको गतिको मान अचल हुने भए पनि अन्य फरकफरक थप परिमाणका गतिका आधारमा निर्मित सरदर गति निकाल्दा उक्त गति प्रदुर्यान्तर र एक कम पदसंख्याको गुणनफलको आधा मात्रासँग बराबर भएको पाउन सकिन्छ । यसलाई ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गरेको देखाउँदा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई आधार मानिएको छ । यस अनुसन्धानपत्रमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई सरदर गति भनिएको छ । 

सरदर गतिमा एकनासको गतिको अर्थ निहित हुन्छ । सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्वका लागि ठाडो अक्षमा सरदर गति र तेर्सो अक्षमा जम्मा लागत समय राख्न सकिन्छ । यसो गर्दा हरेक समयान्तरालमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफल थप हुँदै जान्छ भन्ने स्पष्ट गर्न सकिन्छ । दुई अक्षमा राखेका कारण सरदर गति र समयको गुणनफलका रूपमा विस्थापन प्राप्त गर्न सकिन्छ । 

सरदर गति पहिलो गति र अन्तिम गतिको योगफलको आधा मात्रासँग पनि बराबर हुन्छ । यस मात्रालाई ज्यामितीय स्वरूपमा देखाउँदा पहिलो गति र अन्तिम गतिको योगफललाई समयसँग गुणन गरियो भने हरेक समयान्तरालमा सरदर विस्थापनको दोब्बर विस्थापन भइरहेको हुन्छ । यतिबेला यसलाई परम्परित शैलीमा जसरी त्रिभुजाकार स्वरूपमा देखाउन वा आयातकै आधा मात्राका रूपमा देखाउन पनि सकिन्छ तर यसरी गरिएको प्रतिनिधित्व अनावश्यक प्रतिनिधित्व हुन जान्छ । यो कार्य एक अर्थमा ४ लाई २ ले भाग गर्नुलाई २ लाई १ ले भाग गरेर लेखेजस्तो पनि हुन जान्छ । अचल वा सरदर गतिलाई नै समयका आधारमा गुणात्मक रूपले व्यख्या गर्नु उपयुक्त हुन जान्छ ।

यसरी दुई अक्षहरूमध्ये एक अक्षमा सरदर गति र अर्को अक्षमा समय राखेर देखाउने प्रचलनमा क्षेत्रफलको प्रभाव देखिन्छ । तर समय र सरदर गतिको गुणनफल कुनै क्षेत्रफलजस्तो विषय भने होइन । जस्तो, हरेक सेकेन्डमा १ मिटर यात्रा गर्ने कुनै वस्तुले ५ सेकेन्डमा ५ मिटर यात्रा गर्छ भन्नु र १ मिटरका लम्बाइहरू ५ वटा जोड्दा ५ मिटर हुन पुग्छ भन्नु एउटै हो । केवल विस्थापनलाई सदिश परिमाणका रूपमा लिनुपर्छ ।

गतिका यस्ता सवाल वा घटनामा ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउनु भनेको ज्यामितीय संकेतमा देखाइने वा बुझाइने एक प्रकारको भाषाको प्रयोग गर्नु भन्नेमात्र हो । तर यसरी फरक आकृतिमा व्याख्या गर्न खोज्दा कतिपय अवस्थामा विषयलाई स्पष्ट गर्नुका साटो झन् भ्रम उत्पन्न गर्ने गरेको पनि पाइन्छ । यही गलत प्रचलनको प्रभावमा परेर कतिपयले विस्थापनलाई क्षेत्रफल भनेर उल्लेख गरेको र क्षेत्रफलका रूपमा बुझ्ने गरेको पनि पाइन्छ । 

अक्षहरूको बीचमा यौगिकको संकेत गर्ने कुनै छड्के वा वक्र रेखालाई गति वा वेगको रेखा मान्दा एउटा अक्षमा विस्थापन र अर्को अक्षमा समय बढेको वा घटेको देखाउने गरिएको पाइन्छ । दुई अक्षले लम्बाइ र चौडाइलाई प्रतिनिधित्व गरेका बेला देखाइने ज्यामितीय प्रतिनिधित्वको आकृति जसरी क्षेत्रफलको वास्तविक अर्थ र व्यवहारसँग समेत मिल्न जान्छ त्यसरी समय र विस्थापनका सन्दर्भमा भने मिल्न जाँदैन । 

माथिका समीकरणहरू १६ र १७ मा हुने ज्यामितीय प्रतिनिधित्वमा एकाइ समयान्तरालमा हुने निर्मित सरदर विस्थापनको भूमिका भएझैँ अन्य समीकरणहरूमा पनि सोही बमोजिम ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउन सकिन्छ । यसका लागि ती सबै समीकरणमा सुरुको गति र निर्मित सरदर गतिको योगफललाई एउटा अक्षमा र समयलाई अर्को अक्षमा राख्न सकिन्छ । यसरी माथि दिइएका सबै सुव्रत समीकरणहरूमा ज्यामितीय प्रतिनिधित्व गराउन सकिन्छ । यसप्रकार सुव्रत समीकरणहरूको ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सही हुन पुग्दछ ।

२१. पूर्वाग्रहको प्रभावको जाँच

कुनै पनि अनुसन्धानमा खोजकर्ताले आग्रह वा पूर्वाग्रह राखेको छ कि छैन भन्ने कुराको यकिन गर्नु पनि आवश्यक रहन्छ । अनुसन्धानका क्रममा गणितीय र विज्ञानसम्मत सर्वस्वीकृत मान्यताहरूको प्रयोगलाई आधार मानेर परीक्षणहरू गरिएको छ वा छैन भन्ने कुराले यस कुराको निर्णय गर्दछ । यस अनुसन्धानपत्रमा स्वयंसिद्ध तथ्य, स्वीकृति र बैध नियमहरूका आधारमा नै प्रचलित नियमहरूको जाँच गरिएको छ । नयाँ नियमहरूको जाँच वा स्थापनामा पनि सर्वस्वीकृत नियम र मान्यताहरूको प्रयोग गरिनुका साथै सर्वस्वीकृत वैज्ञानिक पद्धति र प्रक्रियाहरूका आधारमा अनुसन्धानलाई पूर्णता दिइएको छ । कुनै पूर्वाग्रह वा वैयक्तिक्ताको प्रभाव यस अनुसन्धानपत्रमा छैन । यो अनुसन्धानपत्र पूर्णतः बैध, विशुद्ध वस्तुपरक, सत्यतथ्यपूर्ण र प्रमाणित छ । 

२२. आयामिक सूत्रका आधारमा जाँच

सुव्रत समीकरणहरू, १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५, आयामिक सूत्रका आधारमा सही छन् । यी समीकरणका दुवैतिर एकै खालका आयामिक सूत्रहरू रहेका छन् । समीकरणहरूबाट प्राप्त हुने विस्थापन र दुर्यान्तर जस्ता परिमाणहरू लम्बाइको प्रत्यक्ष उपस्थितिमा रहेका छन् भने प्रदुर्यान्तर तथा गतिजस्ता परिमाणहरू लम्बाइ र व्युत्क्रमिक समयको गुणनफलका रूपमा रहेका छन् । यसरी ती समीकरणहरूमा आयामिक फर्मुलाहरू पनि सही देखिन आएका छन् ।

२३. अनुसन्धानपत्रको बैधता, विश्वसनीयता र प्रमाणिकता

यस अनुसन्धानपत्रमा प्रयुक्त सामग्री बैध र प्रमाणिक रहेका छन् । विभिन्न समयमा गरिएका परीक्षणहरू पनि यस अनुसन्धानका आधारका रूपमा रहेका छन् । भौतिक शास्त्र पुनर्निर्माण अभियानअन्तर्गतका प्रवचनहरू, प्रकाशन गरिएका सम्बन्धित पुस्तकहरू र अनुसन्धानपत्रहरू पनि यस अनुसन्धानपत्रको आधारका रूपमा रहेका छन् । सर्वस्वीकृत वैज्ञानिक मान्यता, स्वयंसिद्ध तथ्य र स्वीकृतिहरूका आधारमा प्रचलित नियमहरूको विश्लेषण गर्ने र नयाँ नियमहरूको आवश्यकता र औचित्य पुष्टि गर्ने कार्य यस पत्रमा भएको छ । पटकपटकको जाँच र पुनर्जाँचपछि प्राप्त परिणामहरू यस पत्रमा रहेका छन् । यी विविध आधारमा अनुसन्धानपत्रको बैधता, विश्वसनीयता र प्रमाणिकता सिद्ध भएको छ ।

२४. निष्कर्ष

माथि दिइएका सुवात समीकरण १, २, ३, ४ र ५ ले सही समाधान दिन नसक्ने पुष्टि भएपछि सुव्रत समीकरण ६, ७, ८, ९ र १० समाधानका रूपमा प्रस्तुत गरिएको हो । सम्भाव्य विकल्पहरूका रूपमा ११, १२, १३, १४ र १५ दिन सकिने प्रयास गरिए पनि ती समीकरणहरू केवल एकाइ समयान्तरालका सन्दर्भमा मात्र मिल्न जाने र व्युत्पत्ति पनि सर्वस्वीकृत मान्यतामा आधारित हुन नसक्ने देखियो । प्रवेगको त्रुटिपूर्ण स्थापनाका कारण सुवात समीकरणहरूले एकै घटनामा पनि विभिन्न नतिजा दिने स्थिति सिर्जना भएको माथि दिइएका जाँचहरूबाट देखियो । सरदर प्रवेगको वैकल्पिक उपायबाट केही समाधान निस्किन्छ कि भनी गरिएका जाँचहरूमा पनि एकै घटनाका लागि फरकफरक परिणामहरू नै हात लाग्न पुगे । अन्ततः चालसम्बन्धी यस्ता समस्याहरूको समाधानका लागि दुर्यान्तर र प्रदुर्यान्तरजस्ता परिमाणहरूले भूमिका खेल्ने सुव्रत समीकरणहरू सक्षम हुने देखियो । सोहीअनुरूप आएका विस्तृत सुव्रत समीकरणहरू ६, ७, ८, ९, १०, १६, १७, १८, १९, २०, २१, २२, २३, २४ र २५ सबै समयान्तरालका लागि सही हुने देखिए । यी समीकरणहरू सबैले स्वीकार गरेका वैध नियम, स्वयंसिद्ध तथ्य र स्वीकृतिहरूका आधारमा निर्माण गरिएको हुँदा पूर्णत प्रमाणिक, विज्ञानसम्मत र प्रयोगयोग्य पनि देखिए ।

२५. सन्दर्भ सामग्रीसूची

सन्दर्भसामग्रीः (पुस्तक तथा लेखहरू)

१. इन्साइक्लोपेडिया ब्रिटानिका, इन्साइक्लोपेडिया ब्रिटानिका लाइबे्ररी, सन् २००९ ।

२. कुँवर, भविन्द्र. परीक्षणकर्ता, स्वचालित यन्त्र, बागलुङः ग्यालेक्सी इन्जिनियरिङ वर्कसप, सन् २००२ ।

३. _______ भौतिक शास्त्रमा भएका केही त्रुटिहरूका खन्डन र समाधान, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., आइएसबिएनः ९७८९९३७२२३६७६, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०११ । 

४. _______ न्युटनको चालको दोस्रो नियम कसरी गलत छ ?, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., आइएसबिएनः ९७८९९३७८५५६००, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०१२ ।

५. _______ वक्ता. ग्यालिलियोपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहास र केही आलोचनाहरू, काठमाडौँः वाल्मिकी विद्यापीठ, प्रदर्शनीमार्ग, प्रवचन, सन् २०१२ ।

६. _______ वक्ता. (क)न्युटनपूर्वको विश्लेषणात्मक इतिहास (ख) न्युटनको चालको दोस्रो नियमको व्याख्या र खण्डन, काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, कीर्तिपुर, प्रवचन, सन् २०१२ ।

७. _______ वक्ता. (क)न्युटनपूर्वको इतिहासको विवेचना (ख) न्युटनको चालको दोस्रो नियमको विश्लेषण र खण्डन, काठमाडौँः युनाइटेड स्कलर्स एकेडेमी, कलंकी, प्रवचन, सन् २०१२ ।

८. _______ परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ को निर्माण र परीक्षणका विविध चरणहरू, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स प्रा. लि., विविध आन्तरिक परीक्षणहरू, सन् २०१२ ।

९. _______ वक्ता. ग्यालिलियोपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहास र अवरोधहीन क्षेत्रमा फरक तौल र संरचनाका वस्तुहरू एकसाथ खस्दछन् वा खस्दैनन् ? काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, एम.फिल. विभाग, दिल्लीबजार, प्रवचन, सन् २०१२ ।

१०. _______ वक्ता. न्युटनपूर्वको भौतिक शास्त्रीय इतिहासको विश्लेषण र चालका नियमहरूको विश्लेषण, काठमाडौँः त्रिभुवन विश्वविद्यालय, एम.फिल. विभाग, दिल्लीबजार, प्रवचन, सन् २०१२ ।

११. _______ वक्ता÷परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ को प्रयोगबाट न्युटनको चालको दोस्रो नियमको ठाडो सतहका सन्दर्भमा परीक्षण र विश्लेषण, काठमाडौँः युनाइटेड स्कलर्स एकेडेमी, कलंकी, प्रवचन तथा परीक्षण प्रदर्शन, सन् २०१३ ।

१२. _______ एसएटिएम–१ र न्युटनको चालको दोस्रो नियमको समतल सतहको परीक्षण, काठमाडौँः नेपाल प्रतिलिपि अधिकार रजिष्ट्रारको कार्यालय, प्रतिलिपि अधिकार सन् २०१३ ।

१३. _______ वक्ता÷परीक्षणकर्ता. एसएटिएम–१ र न्युटनको चालको दोस्रो नियमको समतल सतहको परीक्षण र विश्लेषण, ललितपुरः अरनिको इन्टरनेशनल एकेडेमी, ताल्चीखेल, प्रवचन/परीक्षण प्रदर्शन सन् २०१३ ।

१४. _______ . सुवातदेखि सुव्रतसम्म, ब्लगः एक्युरेट फिजिक्स डट ब्लगस्पट डट कम, भिन्न, सन् २०१६ । 

१५. _______ . सुव्रतका केही प्रभावहरू, ब्लगः एक्युरेट फिजिक्स डट ब्लगस्पट डट कम, भिन्न, सन् २०१७ ।

१६. क्लेभेलेन्ड, जोन. फिजिकल साइन्स, कोलम्बसः चार्लीज ई. मेरिल बुक्स आइएनसी, सन् १९६४ ।

१७. गुप्ता, किरण. क्लासिकल मेकानिक्स अफ पार्टिकल्स एन्ड रिजिड बँडिज्, नयाँ दिल्लीः न्यू एज इन्टरनेशनल (पि.). लिमिटेड, सन् १९९७ ।

१८. पार्कर, साइविल पी र अन्य (सम्पा.). एमसी ग्रावहिल इन्साइक्लोपेडिया अफ फिजिक्स, दो. सं., वासिंटनः एमसी ग्रावहिल आएसी. सन् १९९३ ।

१९. पोखरेल, बालकृष्ण र अन्य. नेपाली बृहत् शब्दकोश (पाँ. सं.), काठमाडौँः नेपाल राजकीय प्रज्ञा प्रतिष्ठान, विं. सं. २०५५ ।

अन्य सन्दर्भसामग्रीः (लिंकहरू)

 @)= https://en.wikipedia.org/wiki/Equations_of_motion

@!= http://www.learneasy.info/MDME/MEMmods/MEM23109A/

dynamics/linear_motion/linear_motion.html

@@= https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression.

@#= https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html

@$= https://en.wikipedia.org/wiki/Domingo_de_Soto,

@%= https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-94-009-8404-2_

6#page-1_

@^= https://www.maplesoft.com/support/help/maple/view.aspx¿path=

MathApps%2FGalileosInclinedPlaneExperiment

@&= http://gorkhapatraonline.com/news/38086

@*= http://myagdikali.com/111815.html

@(= http://www.ratopati.com/news/130831/

#)= http://www.onlinekhabar.com/2017/01/533506/

#!= https://www.setoghar.com/more/5135/

#@= http://gorkhapatraonline.com/news/35475

##= http://myagdikali.com/93208.html

सहायक सामग्रीहरूः (पुस्तक तथा लेखहरू)

३४. जेम्स÷जेम्स, म्याथमेटिक्स डिक्सनेरी, दिल्लीः सिबिएस पब्लिसर्स एन्ड डिस्टिब्युटर्स, पुनर्मुद्रण, सन् १९८८ ।

३५. डेन्टिथ, जोन र अन्य. सं. अक्सफोर्ड डिक्सनेरी अफ फिजिक्स, दिल्लीः अक्सफोर्ड युनिभर्सिटी पे्रस्, सन् २००९ । 

३६. माइक्रोसप्mट कर्पोरेसन, माइक्रोसप्mट इन्कार्टा,  १९९३–२००८, माइक्रोसप्mट कर्पोरेसन, सन् २००९ ।

३७. शर्मा, मोहनराज र लुईँटेल, खगेन्द्र. शोधविधि, ललितपुरः साझा प्रकाशन, वि.सं. २०६२ ।

३८. शिवाकोटी, गोपाल र चौलागाईँ, तिलक. अनुसन्धानपद्धतिको परिचय, काठमाडौँः पाठ्यसामग्री पसल, पुनर्मुद्रण, वि.सं. २०५५ ।

अन्य सहायक सामग्रीहरू (लिंकहरू)

#(= http://aboutphysicsreformationcampaign.blogspot.com

$)= https://www.facebook.com/physicsreformationcampaign

$!= https://www.facebook.com/krpnepal

$@= http://accuratephysics.blogspot.com/2016/12/blog-post_30.html.

$#= Kunwar, Bhabindra. "Re: Displacement with the help of final and initial velocity by using the suvrt rule" Massage to [Accurate Physics (Ms)], Date. 1/4/2017.

$$= Kunwar, Bhabindra. "Re: Test Of v² = u² + 2as And S = (u + v)t/2 On The Bass Of The Rule SUVRT" Massage to [Accurate Physics (Ms)], Date. 1/4/2017.

$%= http://www.softschools.com/formulas/physics/initial_velocity_

formula/81/