शून्यको अंकगणितीय भूमिका - Arithmetic Role of Zero

(यस ब्लगमा प्रकाशित लेखहरुका अतिरिक्त थप जानकारी लिन र भिडियोमार्फत् परीक्षण अवलोकन गर्न चाहनुहुने महानुभावहरुले हाम्रो भिडियो च्यानल Accurate Physics मा गई आवश्यक जानकारी लिन सक्नुहुनेछ)

For Watching Videos Of Related Experiments, Discoveries And Inventions,

Click Here: Accurate Physics

लेख आरम्भ:-

१. चाबी शब्दहरु

सार, सारीकरण, समीकरण, बराबर, भन्दा सानो, भन्दा ठूलो, ऋणात्मक सार, धनात्मक सार, सारतुल्य, अंकसमुच्चय, गणना, गुणनफल, गुणनको सार, दश, स्थानमान, जोर, बिजोर, अंकगणित, शून्य, भूमिका, ध्वन्यात्मक संकेत, लेख्य संकेत, अंक, संख्या, नहुनु, भाव, अभाव, विपरीत भाव, हुनु, रिक्तता, जोड, घटाउ, गुणन, भाग, भाजक, भाज्य, गुणांक, भागफल, अपरिभाषित, तटस्थ, लेखन पद्धति, लेखन शैली, भविता, शून्यता ।

२. लेख परिचय

शून्यले अंकगणितमा स्वतन्त्र अंक र अंकसमुच्चयमा निहित स्थानमान भएको अंकका रूपमा भूमिका निर्वाह गरेको पाइन्छ । यसले अंकगणितबाहेक गणितका अन्य क्षेत्रमा पनि परिस्थितिअनुरूप भूमिका निर्वाह गरेको मानिन्छ । कतै शून्यले गणितमा केन्द्रीय भूमिका निर्वाह गर्दछ भनी उल्लेख गरिएको पनि पाइन्छ । गणितमा योगात्मक परिचायक, भिन्नरहित संख्या (धनात्मक, ऋणात्मक वा शून्यात्मक), वास्तविक संख्या र बीजीय संरचनाका रूपमा पनि शून्यको भूमिका रहेको देखिन्छ । ‘शून्यको अंकगणितीय भूमिका’ शीर्षकको यो लेख अंकगणितका क्षेत्रमा शून्यले लिँदै आएको ऐतिहासिक अर्थ, उक्त अर्थअनुरूपको भूमिकाको मिलान, सो अर्थको अभिभारामा भएको विविधता तथा विविधताका कारण गणितका क्षेत्रमा पार्दै आएको असर र मानव समुदायको निरन्तरतासँगैको सम्भावित समाधानमा केन्द्रित रहेको छ । प्रचलित परम्परा र प्रयोगलाई हेर्दा शून्यको भूमिका कस्तो प्रकारको भएको खण्डमा गणितमा थप सरलता, स्पष्टता र वास्तविकता झल्किन सक्थ्यो ? भन्नेबारे हजारौँ वर्षपूर्वदेखि उठाउँदै आइएको सवालको विकल्प दिने प्रयास समेत यस लेखमा गरिएको छ । 

३. शून्यको पृष्ठभूमि

मानव जीवन यापनका लागि गणितको सहारा अपरिहार्य थियो । वर्तमानमा पनि यसको आवश्यकता छ र भविष्यमा पनि हुनेछ । गणनाका रूपमा आरम्भ भएको गणित विभिन्न कालखन्ड पार गर्दै र विस्तारित हुँदै वर्तमान समयसम्म आइपुगेको छ । यस क्रममा अंकगणीतमा प्रयोग हुँदै आएका १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८ र ९ तथा ० को भूमिका, अर्थ र सम्बन्ध प्रमुख हुँदै आएको छ । अन्य संख्याहरूको प्रयोगको इतिहास र शून्यको प्रयोगको इतिहास फरकफरक रहेको देखिन्छ । वर्तमान समयसम्म आइपुग्दा शून्य विविध अर्थमा प्रयोग हुँदै र अर्थिँदै गएको देखिन्छ । 

३.१. शून्यको प्रारम्भिक इतिहासः संक्षिप्त जानकारी

शून्यता वा शून्य अवस्थाको चर्चा ऋग्वेदको नासदीय सूक्तमा भएको थाह पाउन सकिन्छ । उक्त सूक्तमा गुण, आकार, प्रकाश, अन्धकार आदि कुनै प्रकारका स्वभावहरूको पनि उपस्थिति नभएको अवस्थालाई महाशून्य भनिएको पाइन्छ । सूक्तमा यस खालको अवस्थाको कल्पना र वर्णन गरेर उक्त अवस्थामा कुनै विषयको प्रवेश भई ब्रह्माण्डको उत्पत्ति भएको मानिएको पाइन्छ । यसपछि गणितीय अर्थ तथा अन्य दर्शनहरूमा समेत शून्यसँग सम्बन्धित विविध अध्ययनहरू भएको देखिन्छ ।

शून्यको प्रयोगको थालनी कहाँबाट भयो भन्ने विषयमा लामो समयदेखि हुँदै आएका शोधखोजहरूको अनुसन्धानको क्रम जारी छ । यस क्रममा कसैले बेबिलोनियनहरूले शून्य पत्ता लगाएको उल्लेख गरेका छन् भने कसैले इजिप्सियन, भारतीय, चिनियाँ र अरबियनहरूलाई यसको पहिल्याइको श्रेय दिनुपर्ने उल्लेख गरेका छन् । कतै भने बेबिलोनियनहरूले पनि सुमेरियनहरूको प्रभावमा शून्यको प्रयोग गरेका हुन् भनी उल्लेख गरिएको पाइन्छ । कतिपय खोजकर्ताहरूले शून्यसम्बन्धी खोजको इतिहास झन्डै ५००० वर्ष पुरानो भएको उल्लेख गरेको पनि पाइन्छ ।

शून्यका भावनात्मक अर्थ र व्यवहारिक अर्थहरू समयअनुसार र समुदायअनुसार फरकफरक भएको उल्लेख भएको पाइन्छ । इजिप्टबासीहरूले पिरामिड र चिहानहरूमा सुन्दरताको अर्थ दिने एउटा संकेतको प्रयोग गर्ने गरेको र यस संकेतभन्दा तल वा माथि दुरीहरूको गणना वा मापन गर्ने प्रचलन रहेको भनी उल्लेख भएको पाइन्छ । यसलाई कतिपयले शून्यको मान्यता प्रारम्भ हुनुपूर्वको एक अंश भनी मान्दछन् । 

शून्यले मूलतः खाली वा अभावको अर्थ बहन गर्ने गर्दथ्यो भन्ने कुरा विश्वका विभिन्न स्थानमा भएका प्रयोग र अर्थहरूबाट पनि थाह हुन्छ । मेसो अमेरिकनहरूले प्रयोग गर्ने क्यालेन्डरमा बीसमा आधारित गणना पद्धतिको प्रयोग भएको पाइन्छ । मायानहरूले शून्यताको अर्थमा शून्यको प्रयोग भएको उल्लेख भएको पाइन्छ । उनीहरूले प्रयोग गर्ने कतिपय लेख्य संकेतहरूमा पनि शून्यको अर्थ निहित रहेको बताइन्छ ।

महाभारतमा शून्यलाई सम्पूर्ण रूपमा विशेषण, गुण र प्रकृतिरहित हुनुको कारणका रूपमा अर्थाइएको देखिन्छ । शून्यता छाएपछि त्यसको परिणति निर्गुण र निराकार महाशून्य अवस्थाको सिर्जना हुने अर्थ यसमा निहित रहेको देखिन्छ । ऋग्वेदको आंशिक प्रभाव यसमा परेको देखिन्छ । मूलतः हिन्दू दार्शनिकहरूले सत्ताको अभावका रूपमा शून्यलाई अर्थाउँदै आएको उल्लेख भएको पाइन्छ । 

कुनै वस्तु वा विषयको उपस्थिति छैन, वस्तु वा विषयको स्वभाव वा गुण वा लक्षण पनि छैन, प्रकाश पनि छैन र अन्धकार पनि छैन, त्यो नै महाशून्य अवस्था हो – ऋग्वेदको नासदीय सूक्तको मान्यता रहेको छ । यही मान्यता र दर्शनको प्रभाव हिन्दू तथा अन्य दर्शनहरूमा पनि परेको देखिन्छ । महाभारत, उपनिषद आदिमा शून्यतालाई यही शून्यताको अर्थमा नै अर्थाउने गरिएको पाइन्छ ।   

कतिपय खोजकर्ताहरूले शून्यको प्रयोग बौद्धपरम्परापूर्व नै हुँदै आएको उल्लेख गरेका छन् । त्यस्तै बौद्ध दर्शनका कतिपय दर्शनहरू शून्यमा केन्द्रित भएको देखिन्छ । यसपछिका समयमा पनि शून्यको अर्थ र प्रयोग बहसको विषय बनेको देखिन्छ । आजभन्दा ३००० वर्षपहिले पनि शून्यसम्बन्धी बहसहरू अघि बढेको र चर्चा हुँदै आएको देखिन्छ । त्यतिबेलाका केही दार्शनिकहरूले “नहुनु” “हुनु” हुन कसरी सम्भव हुन्छ ? भनी प्रश्न गरेको उल्लेख भएको पाइन्छ । त्यस समयका र त्यसपछिका कतिपय दार्शनिकहरूले “नहुनु” “हुनु” हुन सक्दैन भने “हुनु” “नहुनु” “हुन” पनि सक्दैन भनेको पाइन्छ । 

ग्रीकबासीहरूले शून्यको प्रयोग संख्याको विपरीत अर्थका रूपमा गरेको देखिन्छ । उनीहरूले नहुनु हुनु हुन सक्दैन भन्ने धारणा राखेको देखिन्छ । उनीहरूले स्थानमानको प्रयोग पनि गरेको देखिँदैन । यसको अर्थ हुन्छ, शून्य नहुनु नै थियो । एलिअका जिनोले शून्यसम्बन्धी धेरै अनिश्चितताहरूबारे व्याख्या गरेको देखिन्छ । प्रयोग र मान्यताहरू हेर्दा आरम्भको अवस्थामा शून्यले नहुनुको अर्थ बोकेको देखिन्छ । जोड र घटाउजस्ता गणितका मूल आधारसम्बन्धहरूमा भूमिका निर्वाह गर्दा पनि शून्यले नहुनुको अर्थ नै लिएको देखिन्छ ।

बाइबलमा पनि पृथ्वीको उत्पत्तिको आधार शून्य भएको मानिएको भनी उल्लेख भएको पाइन्छ । शून्यसम्बन्धी प्रचलित र परम्परित धारणा र मान्यताहरूको प्रभाव यसमा देखिन्छ । त्यसपछिका केही भुगर्भशास्त्रीहरूले पनि शून्यलाई कुनै न कुनै रूपमा प्रयोग गरेको उल्लेख छ । हिपार्चस र बेबिलोनियनबाट प्रभावित खगोलशास्त्री तथा भुगर्भशास्त्री टोलेमीले सर्वप्रथम सन् १३० मा शून्यलाई कुनै आकृति वा संकेत दिएको उल्लेख छ । 

प्रचलित गणितका आधारमा हेर्दा शून्यको सम्पूर्णताको अर्थ नागार्जुनको धारणामा रहेको देखिन्छ । नहुनु, हुनु तथा हुनु र नहुनुको तीनै अर्थमा शून्यलाई अर्थाउने कार्य नागाजुनबाट भएको उल्लेख भएको पाइन्छ । उनले आफ्नो ‘माध्यमिक शास्त्र’मा उत्पत्ति र गतिको विरोधी तत्त्व शून्य हो भनी व्याख्या गरेको पाइन्छ । यसमा पनि महाभारतमा जस्तै कुनै वस्तुको स्वरूप वा गुणको अभावको कारकका रूपमा शून्यलाई चिनाउने कार्य भएको देखिन्छ । 

पश्चिममा गणितका सन्दर्भमा शून्यलाई नहुनुको अर्थमा प्रयोग गर्ने काम सन् ५२५ मा भएको भनी उल्लेख भएको पाइन्छ । साथै यो काम ईश्वी संवत्का प्रवर्तक डनीसस एक्सिगुस (४७०–५४४) ले गरेको भनी उल्लेख भएको पनि पाइन्छ । यस मान्यताअनुसारको प्रयोग रोमन संख्यामा गरिएको उल्लेख भएको पाइन्छ । यतिबेला भागका सन्दर्भमा भने शेष निःल हुने अर्थका लागि शून्यको प्रयोग हुन थालेको उल्लेख गरिएको पाइन्छ । 

नागार्जुनले गतिको विरोधी वा स्थिरतालाई पनि शून्यको अर्थ दिएको देखिन्छ । एलिअका जिनोले पनि वस्तुको आरम्भिक गति वा गतिपूर्वको अवस्था शून्य हुने बताएको उल्लेख भएको पाइन्छ । चिनियाँ तथा जापानीजहरूका कार्यहरू पनि शून्यको वर्तमान स्वरूपसम्मको विकासमा उल्लेखनीय मानिन्छ । झन्डै प्रथमदेखि चौँथो शताब्दीका चिनियाँहरूले दशमलबलाई कसरी प्रयोग गर्दथे भन्ने कुराको खोज भएको छ । शून्यको आधारको निर्माणका लागि उनीहरूको कार्य पनि निकै उल्लेखनीय भएको पाइन्छ । उनीहरूले शून्यलाई वर्तमानमा प्रचलित शून्यको अर्थजसरी प्रयोग नगरे पनि खाली अवस्था वा स्थानका लागि शून्यको प्रयोग गरेको उल्लेख भएको पाइन्छ । 

३.२. शून्यको पछिल्लो इतिहासः संक्षिप्त जानकारी

भारतीय वैज्ञानिक तथा गणितज्ञहरूले नै सबैभन्दा पहिले स्पष्ट रूपमा शून्यको प्रयोग गरेको उल्लेख गरिएको छ । शून्यलाई दशमलबमा अंकका रूपमा प्रयोग गर्ने पहिलो श्रेय भारतीयहरूलाई दिइन्छ । यसमा गुप्ता, पिंगल, आर्यभट आदिको योगदान रहेको देखिन्छ । यस समयमा खाली वा शून्यताको अर्थमा र दशमलबमा आउने अंकका रूपमा शून्यलाई प्रयोग गरेको देखिन्छ । यस क्रममा आधुनिक दशमलब पद्धतिको प्रयोगको आरम्भ आर्यभटबाट भएको मानिएको छ भने शून्य र अन्य अंक तथा अंकसमुच्चयहरूको विस्तृत परिचयसहितको पुस्तक (ब्रह्मस्फूट सिद्धान्त) पहिलोचोटि तयार पार्ने कार्य ब्रह्म गुप्ताले गरेको पाइएको छ ।

शून्यलाई व्यापक अर्थका रूपमा अर्थाउने, प्रयोग गर्ने र विश्लेषण गर्ने कार्य मूलतः पूर्वीयहरूले नै गरेको देखिन्छ । पूर्वीय दर्शनहरूमा शून्यलाई परम शून्य, काया शून्य, आत्म शून्य र सहज शून्य जस्ता अर्थका रूपमा प्रयोग गर्दै आएको पनि देखिन्छ । यसका साथै सबैभन्दा पहिलोचोटि स्पष्ट नियम सहितको शून्यको प्रयोगसम्बन्धी जानकारी ‘ब्रह्मस्फूट सिद्धान्त’ (६२८) नामक पुस्तकमा उल्लेख भएको पाइएको छ । यस सिद्धान्तमा धनात्मक तथा ऋणात्मक नम्बरको व्यवस्थाबारे उल्लेख गरिएको छ । यस सिद्धान्तमा ‘ब्रह्म गुप्ता’ (सन् ५९८–६६५+/६७०)  ले दिएका सबै नियमहरू भने आधुनिक गणितीय प्रयोगसँग मेल खाँदैनन् । 

ब्रह्म गुप्ताले ‘ब्रह्मस्फूट सिद्धान्त’मा शून्यमात्र होइन अन्य अंकहरूका बीचमा हुने सम्बन्धका बारेमा पनि चर्चा गरेको देखिन्छ । शून्यले स्थानको स्थानमान ग्रहण गर्नेदेखि लिएर गणितका आधारभूत सम्बन्धहरूमा खेल्ने प्रकृतिबारे पनि उनले आफ्नो पुस्तकमा चर्चा गरेको देखिन्छ । उनले दिएका संख्या र शून्यको गुणनसम्बन्धी, योगात्मक परिचायकसम्बन्धी र भागसम्बन्धी केही नियम र अर्थहरू स्वीकृत भए पनि शून्यलाई शून्यले भाग गर्दा शून्य नै हुन्छ भन्ने उनको मान्यता वर्तमान गणितले स्वीकार गरेको छैन ।

शून्यलाई कतै गुण तथा विशेषणहीन अवस्थाको कारकका रूपमा, कतै खाली वा अभावका अर्थमा, कतै हुनु तथा नहुनु दुवैको अर्थमा र कतै हुनुको अर्थमा अर्थाउने कार्य हुँदै आएको छ । भारतबाहेक अन्यत्र पनि स्वतन्त्र रूपमा शून्यसम्बन्धी कार्यहरू भएको देखिन्छ । कतिपय स्थानमा भएका भनिएका कार्यहरूको भने अधिकारिकता पुष्टि भइसकेको छैन । कम्बोडियामा छैठौँ शताब्दीमा शून्यसँग सम्बन्धित कार्य भएको भनी उल्लेख भएको पनि देखिन्छ तर यस कार्यको कुनै आधिकारिकता नभएको भनी उल्लेख भएको पाइन्छ । 

सोह्रौँ शताब्दीमा आएर मात्र युरोप र विश्वका अन्य क्षेत्रमा शून्य र शून्यसमेतको गणितीय प्रयोग विस्तारित भएको देखिन्छ । भारतमा शून्यको प्रयोगको स्वरूप तयार भइसकेको केही समयपछि गणितज्ञ तथा वैज्ञानिक अल्ख्वारिज्मीले इस्लामिक जगत्मा शून्यको प्रयोग अघि बढाएको पाइएको छ । उनले गरेका कार्यहरूको अनुवाद भई बाह्रौँ शताब्दीतिर युरोपमा पनि शून्य र अन्य अंकहरूको सम्बन्ध तथा प्रकृतिअनुरूपको व्यापक रूपले प्रयोग भएको उल्लेख भएको पाइन्छ । यसरी सोह्रौँ शताब्दीमा आएर मात्र वर्तमान स्वरूपको शून्यको व्यापक प्रयोग हुन थालेको भनी उल्लेख भएको पाइन्छ । यसरी विभिन्न भाषा, धर्म, समुदाय र क्षेत्रका मानिसहरूले काम गर्दै जाँदा विश्वभरि फैलिएको शून्यको प्रयोग र प्रचलन हाल व्यापक र साझा बन्न पुगेको छ ।

वर्तमान समयसम्म आइपुग्दा शून्यले महाशून्यहुँदै हुनु, नहुनु, हुनु र नहुनु, गुण र विशेषणको कारक, गतिको विरोधी, अभाव, रिक्तता, स्थानको स्थानमान, स्थान थाम्ने अंक आदि विविध अर्थहरू बहन गर्दै आएको देखिन्छ । यसले दशमलवपछिका स्थानहरूमा खेलेका भुमिकाहरूलाई पनि उल्लेखनीय भएको मानिन्छ । शून्यलाई विभिन्न भाषा, संस्कृति, क्षेत्र र समुदायमा फरकफरक ध्वन्यात्मक तथा लेख्य संकेतहरूले बुझाउने गरिएको देखिन्छ । यसबीच अर्थहरूमा पनि निकै फरक र विपरीत चरित्र देखिन पुगेको देखिन्छ । शून्यलाई हेर्दा विभिन्न सीमा र कमजोरीहरू देखिन्छन् । कतै संकेतनमा समानता देखिने र अन्तरर्निहित अर्थहरूमा भिन्नता देखिने समस्या देखिन्छ भने कतै संकेतनमा विविधता र अर्थमा समानता पनि देखिन्छ । यस लेखमा पूर्वकार्यहरूको समीक्षा गरी वर्तमानसम्मका शून्यसम्बन्धी प्रयोगहरूमा देखिन गएका कमीकमजोरी र अपूर्णतालाई स्पष्ट गर्ने कार्य भएको छ । 

४. शून्यको प्रचलित अर्थ र भूमिका

मानिसहरूले विभिन्न कालखन्डहरूमा नयाँनयाँ तरिकाबाट आआफ्ना समस्याहरूको समाधान निकाल्ने गरेको देखिन्छ । आफ्ना समस्याहरु समाधान गर्ने क्रममा उनीहरूले गणितीय औजारको पनि प्रयोग गर्दै आएको देखिन्छ । जीवन यापनका क्रममा भैपरिआउने विविध समस्याको समाधानका लागि उनीहरूले संख्याहरूलाई प्रयोग गर्दै आएको देखिन्छ । गणितको प्रयोगले विभिन्न सन्दर्भ र परिवेशअनुसार विविध स्वरूप धारण गरेको देखिन्छ । यसबारे केही रूपमा माथि चर्चा गरिएको छ । वर्तमान समयमा आएर शून्यले केकस्ता स्वरूप र विशेषताहरू वहन गर्न पुगेको छ भन्नेबारे यहाँ गरिन्छ ।

४.१. प्रयोग र प्रचलन

गणितीय प्रयोग र परम्पराको यात्रा वर्तमानसम्म आइपुग्दा शून्यलाई कतै भविताका अर्थमा, कतै शून्यताका अर्थमा र कतै दुवैका अर्थमा प्रयोग गर्ने गरिएको देखिन्छ । विविध कालखन्डहरूमा हुनुलाई संख्या र नहुनुलाई शून्य भनी प्रयोग गरिएको पनि पाइन्छ । विभिन्न क्षेत्र, विषय र सम्बन्धअनुसार यसको प्रयोगको स्वरूप अलगअलग हुँदै गएको देखिन्छ । पछिल्लो समयमा धनात्मकता र ऋणात्मकता बीचको अवस्थालाई शून्य मानिएको पनि पाइन्छ । वर्तमानमा अंकसमुच्चयमा आउने स्थानमानमा खेल्ने भूमिका, केही पनि नहुनुको अर्थ तथा गणितीय विभिन्न शाखाअनरूपका सन्दर्भअनुरूप विविध अर्थमा शून्यलाई अर्थाउने गरिएको देखिन्छ ।

गणित शास्त्रीहरूले –१ र +१ को सरदर मान ० हो भनी उल्लेृख गरेको पाइन्छ । धनात्मकता र ऋणात्मकता बीचको अवस्था शून्य हो भन्ने धारणाले यहाँ भूमिका खेलेको देखिन्छ । जस्तो एक जनाले १ रूपैयाँ कमायो अर्कोले १ रूपैयाँ ऋण काढेर खर्च गर्यो । अब ती दुई जनाको सरदर आम्दानी वा प्राप्ति ० रूपैयाँ हुन्छ । यस सन्दर्भमा मध्यमानका रूपमा शून्यलाई प्रयोग गरिएको हुन्छ ।

शून्यलाई एक परिचायक नम्बरका रूपमा परिभाषित गरिएको पाइन्छ । कुनै अचलमा शून्यलाई जोड्दा वा घटाउँदा ती अचलको मात्रामा कुनै परिवर्तन नगराउने एक अर्थका रूपमा शून्यलाई लिइन्छ । घटाउका लागि पनि शून्यको भूमिका यस्तै प्रकृतिको रहेको हुन्छ । शून्यबाहेका अन्य अंकहरूले यस खालको विशेषता ग्रहण गरेका हुँदैनन् । गुणनको सम्बन्धमा पनि शून्यको नित्तान्त नौलो भूमिका भएको देखिन्छ । जुनसुकै अचलसँग गुणन गर्दा आउने गुणनफल जहिले पनि शून्य हुने मानिन्छ । यस अर्थमा अन्य अंकको जस्तो स्वभाव यसले खेल्दैन । त्यस्तै शून्यलाई अचलले भाग गर्दा शून्य नै हुने र अचललाई शून्यले भाग गर्दा अपरिभाषित हुने मान्यता छ । शून्यसँग शून्यको गुणनात्मक विपरीत नहुने मानिन्छ । गुणन र भागका सम्बन्धमा बराबर, भन्दा सानो वा भन्दा ठूलो चिन्हले अन्य अंकहरूमा जसरी सम्बन्ध दर्शाउन नसकेको देखिन्छ ।

घातांकमा पनि शून्यको अर्थ नहुनु भन्ने हुन्छ । कुनै आधारमा कुनै घात केकति छ भन्ने कुरा स्पष्ट गर्न घातांकको नियमको प्रयोग हुन्छ । यस क्रममा अन्यत्रझैँ गरी घातांकमा पनि शून्यको मान नहुनुको अर्थमा देखिन आउँछ । घातांक नभएको आधार छ भने त्यसको मान १ हुन्छ भन्ने मान्यता रहेको छ । यस मान्यताअनुसार आधार जतिसुकै भए पनि घातांक शून्य छ भने त्यसको मान १ नै हुन्छ । त्यसै गरी खाली गुणनफल ०! र ०० को मान पनि १ नै हुने मानिन्छ । 

कतिपय सन्दर्भमा शून्यको विस्तारित रूप १ वा –१ हो भन्ने मान्यता पनि प्रचलित रहेको देखिन्छ । धनात्मक र ऋणात्मक पूर्णाकंहरूका सन्दर्भमा शून्यलाई फरक तरिकाले अर्थाइएको देखिन्छ । –१ र १ को सरदर मान शून्य हो भन्ने धारणा रहेको देखिन्छ । अक्षहरूका सन्दर्भमा धनात्मक दिशामा देखिने मान र ऋणात्मक दिशामा देखिने मानका बीचमा शून्य रहने भएकाले शून्य नै यी परिमाणहरूको उद्गम विन्दु हो भन्ने धारणा पनि राखिएको पाइन्छ । 

कतै शून्यलाई जोर संख्या मानिएको पाइन्छ । कुनै संख्यालाई दुई वा कुनै जोर संख्याले भाग गर्दा शेष रहँदैन भने उक्त संख्या जोर हुने मानिन्छ । यही आधार लिएर दश, सय, हजार आदि स्थानमा आउने शून्यलाई जोर संख्या मानिएको देखिन्छ । त्यसै गरी शून्यमा कुनै संख्याले गुणन गर्दा परिणाम शून्य नै हुने मानी समाधान निकाल्दा दश, सय, हजार आदि स्थानमा आउने शून्यहरूले पनि शून्यको भूमिका निर्वाह गरेको देखिन्छ । यसै आधारमा पनि शून्यलाई चिनाउने गरिएको पाइन्छ । तर शून्यलाई धनात्मक वा ऋणात्मक भने नहुने उल्लेख भएको पाइन्छ । 

शून्यलाई कुनै एउटा गणनाका रूपमा लिनुपर्ने वा सदस्यहीन मात्राको गणनाका रूपमा लिनुपर्ने मान्यता पनि राखिन्छ । ऋणात्मक संख्याहरूलाई शून्यभन्दा साना संख्याका रूपमा परिचित गराइन्छ । त्यस्तै क्रम निर्धारणका लागि नेतृत्वदायी शून्यको पनि प्रयोग गरिन्छ । फुटबलमा नील र टेलिफोनमा ओको प्रयोग शून्यकै अर्थमा गर्ने गरिएको देखिन्छ ।

शून्यलाई अन्य अंकहरूको बीचमा रहेर भूमिका निर्वाह गर्ने संख्याका रूपमा पनि लिइन्छ । अन्य अंकहरूको पछि आउँदा पनि अर्थ रहने गरी यसको प्रयोग गरिँदै आइएको छ । कुनै संख्यासँग हुने जोड, घटाउ, गुणन र भागमा यसको विविध रूपमा प्रयोग हुन्छ । घटाउका बेला ० लाई १० मान्ने गरी अर्को स्थानमा रहेको अंकबाट सापटी लिने नियम छ । जोडमा १० भए हातलागी १ मानी निकटमा रहेको ठूलो स्थानमा रहेको अंकमा थप गर्ने चलन छ । गुणन गर्दा ० वा अन्य संख्याहरूसंग गरिएको गुणनफल ० नै हुने मानिन्छ । भागका बेला ० लाई ० र स्थानमानको गुणनफलसँग बराबर हुने परिमाण मानी भाग गरिन्छ । यसरी आधारभूत सम्बन्धहरूमा शून्यलाई प्रयोग गरिँदै आइएको देखिन्छ ।  

४.२. विद्यमान समस्या र लेखको औचित्य

आजसम्मको प्रयोग र प्रचलनहरूलाई हेर्दा हिन्दू अरबिक लेखन शैली वा पद्धतिमा भएका अंकहरूभन्दा एक मात्रा बढी अर्थ दिने सन्दर्भमा दुई अंकहरूको प्रयोग गरिएको देखिन्छ । द्वितीयमलव प्रणाली, षोडषोदशमलव प्रणाली आदिमा पनि ठूलो अंकभन्दा एक परिमाण बढीको अर्थ बुझाउँदासाथ अंकसमुच्चयको अर्थ र लेखन आरम्भ गर्ने गरिएको देखिन्छ । अंकजसरी एक्लै लेखिँदासम्म उक्त लेख्य संकेतले शून्यताको अर्थ दिएको देखिन्छ भने अंकसमुच्चयको अर्थ लिँदासाथ शून्यताको नभई फरकफरक अर्थ लिएको हुन्छ । प्रचलित परम्परामा स्वतन्त्र रूपमा आए पनि वा स्थानमानमा आए पनि दुवैको अर्थ शून्य नै हो भनी अर्थाइएको पाइन्छ । यस क्रममा आएका प्रयोगहरूको विश्लेषण गर्ने र मार्गदर्शन गर्ने कार्य यसमा भएको छ ।

यस लेखमा ऋणात्मक र धनात्मक गणनाका लागि शून्यको भूमिका केकस्तो रहन्छ भन्नेबारे चर्चा गरिएको छ । यसका साथै भाव, अभाव र विपरीत भावका अर्थ एउटै नहुनेबारे चर्चा गरिएको छ तर प्रचलित गणितीय परम्परामा अभाव र नहुनुलाई समान रूपले अर्थाउने कार्य भएको देखिन्छ । यस खालको समस्यालाई पनि यस लेखमा औँल्याउने र सम्भावित सम्भावना सुझाउने कार्य भएको छ । 

जोड, घटाउ, गुणन, भाग, बराबर, भन्दा कम र भन्दा बढी जस्ता गणितीय चिन्हसँग रहँदा शून्यको वास्तविक भूमिका के हो भन्नेबारे यस लेखमा जानकारी गराइएको छ । यी चिन्ह र सम्बन्धहरूको भूमिका र अर्थ कुनै पनि भाव वा उपस्थितिका लागि सही र उपयुक्त देखिने तर गुणन र भागका सन्दर्भमा आउने शून्यका लागि उपयुक्त नहुने देखिन्छ । यस कुराको समाधानका लागि पनि यहाँ सुझाइएको छ ।

घातांक, अपरिमित, अंक, हुनु, नहुनु, र विपरीत भावका सन्दर्भमा शून्यको अर्थ र भूमिका स्पष्ट गर्नका लागि यस लेखले केही उल्लेखनीय कार्य गरेको छ । स्थानमान र अंकसमुच्चयमा लेखिने शून्य के हो ? यो स्वतन्त्र रूपमा आउने शून्य हो वा होइन ? यसबारे पनि यस लेखमा जानकारी गराइएको छ । यस क्रममा स्थानको स्थानमानमा देखिने शून्यको वास्तविक भूमिकाको रहस्य अझसम्मका खोजहरूबाट प्रकाशमा आएको देखिँदैन । यस कुरालाई यस लेखमा जानकारी गराइएको छ । 

शून्य जोर संख्या हो कि होइन ? भन्ने विषयमा पनि विभिन्न अनुसन्धानहरू भएका छन् । कतिपयले शून्यलाई जोर संख्याका रूपमा चित्रित गरेको देखिन्छ । यस खालको धारणा वास्तविक थियो वा भ्रामक थियो भन्ने कुरा पनि यस लेखमार्फत् जानकारी गराइएको छ । 

गणितमा लेख्य संकेतका लागि शून्यसमेतका दशवटा अंकहरू लिइन्छ । हिन्दू अरबियन अंकसमुच्चय प्रणालीमा दशलाई आधार मानेर व्याख्या गरिने वा लेखिने शैली अपनाउँदा वास्तविक दश वटा अंकहरू प्रचलनमा ल्याइएको थियो वा थिएन भन्ने विषयमा पनि यस लेखले जानकारी गराएको छ । शून्य अन्य संख्याहरूसँगैको वर्गमा राखिनु उचित थियो वा थिएन ? अथवा दशको वास्तविक स्वरूपको प्रयोग नै छुटेको थियो ? यी विषयमा पनि यस लेखमा जानकारी गराइएको छ ।

शून्यसँग कुनै पनि परिमाणको गुणनफल वा शून्यलाई कुनै परिमाणले भाग गर्दा आउने परिमाण शून्य हुन्छ भने त्यसलाई लेखन गर्दा बराबर, भन्दा सानो वा भन्दा ठूलो जस्ता चिन्हहरूले काम गर्न सक्थे कि सक्दैनथे ? सक्दैनथे भने यिनका लागि वास्तविक अर्थयुक्त सम्बन्ध कुन थिए ? यी विषयमा पनि जानकारी गराउने कार्य यस लेखमा भएको छ । 

शून्यले गणितका सन्दर्भमा दिने अर्थ र व्यवहारिक अर्थ के हो ? शून्यको प्राथमिक बुझाइ र व्यक्त गराइमा भएको द्वैधता वा अद्वैधता वा अन्योलता के हो ? शून्यता कृत्रिम भवितापछिको कृत्रिम रिक्तता हो वा कृत्रिम रिक्ततापछिको भविताका सापेक्षतामा अर्थिने विषय हो? भन्नेबारे पनि यस लेखमा स्पष्ट गरिएको छ । यीबाहेक यसअघिका अनुसन्धानहरूमा नउठाइएका र समाधान नगरिएका विविध विषय र पक्षहरूबारे पनि यस लेखले स्पष्ट गरेको हुँदा पनि यस लेख आफैमा एक औचित्यपूर्ण र ऐतिहासिक महत्त्वको हुने देखिन्छ ।

५. विश्लेषण र मार्गदर्शन

शून्यलाई आधारभूत रूपमा नहुनुका अर्थमा अर्थाइएको देखिन्छ । तटस्थ भाव बुझाउन पनि शून्यको प्रयोग गरिँदै आएको पाइन्छ । घातांकमा रहँदा, स्थानमानको अर्थ दिँदा, दशमलवपछि आउँदा, अंकहरूको बीचमा वा अन्त्यमा आउँदा, जोड, घटाउ, गुणन, भागजस्ता सम्बन्धमा समाधान निकाल्दा र अन्य विभिन्न गणितीय सन्दर्भ वा सम्बन्धमा आउँदा अपनाइने तरिकाहरूमा मानिँदा वा प्रयोग गरिँदा वा समूहमा आउँदा शून्यले विभिन्न अर्थ दिएको देखिन्छ । कतिपय अवस्थामा संकेत उस्तै देखिँदा र फरक अवस्थाका बीच प्रवृत्तिगत समानता हुँदा शून्यलाई द्वैध अर्थमा बोध गरिएको पनि देखिन्छ । यस प्रकारका विविध पक्षहरूबारे यस लेखमा चर्चा गरिएको छ ।

५.१. भाव, अभाव र विपरीत भाव

हुनु वा नहुनु दुवै भाव मानवीय कल्पनाका उपज हुन् तर शून्य भाव भने अशून्य भावको बोधपछिको मानवीय कल्पना र अर्थको उपज हो । ऋणात्मकतामा पनि शून्यको भूमिका धनात्मकतामा जस्तै हुन्छ । शून्यको धनात्मक दिशाको वा ऋणात्मक दिशाको विस्तार वा संकूचन कुनै गणना वा आकार वा नाप हुन सक्दैन । शून्य आफैमा नहुनु होइन यो हुनुको सापेक्षतामा अर्थिन आएको अर्थ (नहुनु) हो । अर्थात् यो उपस्थितिका सापेक्षतामा अनुपस्थिति जनाउने विषय हो । 

कल्पना वा चेतनामा भविताबाट शून्यताको काल्पनिक अर्थ आउँछ । समग्रतालाई भविता मान्ने हो भने भविता शून्यतामा परिवर्तन हुन सक्दैन । आफैमा शून्यताबाट भविता पनि आउँदैन, भविताबाट भविता आउँछ । शून्यतामा भविता मिसियो भने भविता हुन्छ । गणितमा भने शून्यता पहिल्यै थिएन । यो गणितीय भवितापछिको काल्पनिक अर्थ हो । 

शून्यताबाट कुनै रेखा वा विन्दु वा विन्दुसमुच्चयको जन्म वा विस्तार हुन सक्दैन, त्यस्तो भएको पनि छैन । अक्षहरूका सन्दर्भमा एक विन्दुदेखि अर्को विन्दुसम्मको दुरी भनेको एउटा विन्दुबाहेकको अर्काे विन्दुसम्मको दुरी हो । त्यो मानिएको आधारविन्दु शून्य होइन । आधारविन्दुबाट ऋणात्मक दिशा वा धनात्मक दिशातिर मापन गरिने परिमाण उक्त बिन्दुबाहेकका परिमाणहरू हुन् । त्यसो नभई दुवै पक्षमा आधारविन्दुको संलग्नता हुने मान्ने हो भने उक्त विन्दुको दोहोरो मापन हुन जान्छ । यसले हरेक आयामका धनात्मक र ऋणात्मक दिशातिरका नापहरूमा आधारविन्दुको बारम्बार संलग्नता हुन जान्छ ।

सबैभन्दा सानो विन्दु पनि भविता हो । यो शून्यताको उपज वा फरक स्वरूप होइन । गणितका सन्दर्भमा भने कुनै एक पक्षका लागि भएको प्राप्ति, गुमेको परिमाण वा अप्राप्ति जस्ता विविध कुराहरूको लेखाजोखा राख्नुपर्ने हुन्छ त्यसैले शून्यतामा भविता वा भवितामा शून्यताको सन्दर्भ आउन पुग्दछ । यसबाट शून्यले मानवीय आवश्यकताका अर्थमा र समग्रता वा दर्शनका सन्दर्भमा फरकफरक अर्थ दिँदै आएको छ भन्ने कुरा स्पष्ट गर्दछ ।

निर्वाचन आदि सन्दर्भहरूमा तटस्थ रहनु भन्ने शब्दको प्रयोग रहन्छ । तर फैसला वा निर्णय हुन सकेन भने तटस्थ पक्षको पनि एउटा मत हुन पुग्छ । यस खालको तटस्थभाव भनेको सामान्यतः कुनै पनि पक्षमा नरहनु भन्ने हो । यसलाई निरपेक्ष पनि भनिन्छ । तर शून्य भनेको यस खालको तटस्थ भाव पनि होइन । शून्य कुनै भावको विपरीत भाव पनि होइन र यो कुनै भाव पनि होइन । 

कुनै वृत्त भाव हो भने यसको अनुपस्थितिको भाव शून्य हो । केन्द्रविन्दु, व्यास वा अर्धव्यासबारे थाह नहुँदा पनि वृत्त बन्दथ्यो । वृत्तको संरचनापछि यसको केन्द्र भन्ने चीज जान्नु वा केन्द्रबाट वृत्त बनाउन सकिन्छ भन्ने जान्नु मानवीय ज्ञानका वैयक्तिक र ऐच्छिक सन्दर्भहरू हुन् । गोला, बेलना, आयात, वर्ग, रेखा आदि आकारहरू पनि यस्तै विषयहरू हुन् । हामीले बिन्दुहरू जोडेका खन्डमा रेखा बन्दछन् भने पनि अथवा रेखा बनाएका खन्डमा विन्दुहरू परस्परमा जोडिएर रहेका हुन्छन् भने पनि ती आकारहरूको आधारविन्दु शून्य हो भन्ने कुनै आधार पाउन सकिँदैन ।

कुनै विषयलाई धनात्मक वा ऋणात्मक पक्षको तटस्थ भाव मानिन्छ भने त्यसको संलग्नता कुनै पक्षमा पनि रहेको हुँदैन । यसैको विस्तारबाट कुनै वस्तु वा विषय (सकारात्मक वा नकारात्मक) अस्तित्वमा आउँछ भन्ने मानियो भने विरोधाभास हुन जान्छ । जस्तो, दुई पक्ष हुने र नहुने भएमा सरदर मान के हुन्छ ? हुने, हुने र नहुने हुँदा के हुन्छ ? हुने, नहुने, नहुने हुँदा के हुन्छ ? नहुने नहुने नहुने हुँदा के हुन्छ ? यी सबै कुरा नियाल्दा पनि शून्यको अर्थ केही पनि नहुनु नै हुन्छ । 

हामीले प्रयोग गर्ने शब्दहरूको प्रयोगबाट पनि कतिपय अन्योलताहरू सिर्जना हुन्छन् । समानार्थी र विपरीतार्थी शब्दको खोजी गर्दा मानिएका अर्थहरूले पनि यसमा अस्पष्टताहरू सिर्जना गर्ने सम्भावना हुन्छ । जस्तो, हुनुको विपरीत शब्द नहुनु, धनको विपरीत शब्द ऋण, धनात्मक दिशाको विपरीत शब्द ऋणात्मक दिशा आदिलाई यसको उदाहरणका रूपमा लिन सकिन्छ । एक रूपैयाँ धन हुनुको विपरीत त्यो नहुनु हो कि एक रूपैयाँ ऋण लाग्नु हो ? एक मिटर पूर्वतिर यात्रा गर्नुको विपरीत अर्थ यात्रा नै नगर्नु हो कि पश्चिमतिर एक मिटर यात्रा गर्नु हो ? यस कुरामा पनि ध्यान दिनु आवश्यक हुन्छ । 

कुनै ठाउँमा मानिसहरू एक जना पनि रहेनन् भने शून्यता छाएको ठानिन्छ । कुनै भाँडो रित्तो छ भने शून्यताको अर्थ बोध भएको मानिन्छ । तर यो शून्यता कुनै अर्को भविताको प्रभाव र सापेक्षतामा आएको वा स्मृतिको प्रभावमा उब्जिएको अर्थ वा बोध हो । भविता जब गणितमा आउँछ तब शून्यता कृत्रिमताका आधारमा स्थापित हुन्छ । त्यसैले भविता र शून्यतालाई क्रममा राख्दा पहिले १ र त्यसपछि ० हुन्छ । चेतनाले मापन गर्न थालेपछि नै भविता देखिने हो र त्यही भविताको सापेक्षतामा शून्यता बोध हुन पुग्दछ । यसर्थ गणितमा प्रयोग गरिने शून्यता भनेको कृत्रिम भवितापछि आउने कृत्रिम रिक्तता वा नहुनु हो । 

ऋण काढ्नेले ऋण अन्यत्रबाट ल्याएको हुन्छ र खर्च गर्दा अर्को वा तेस्रो पक्षमा उक्त रकम पुग्छ । तर सोबराबरको वास्तविक धन यथावतै रहन्छ, विनिमयमात्र हुन्छ । यसो नभई उक्त रकम कुनै कारणवश नष्ट भयो भने के हुन्छ ? नष्ट हुनु र खर्च गर्नु एउटै होइन । पोलिए वा च्यातिए जुन मूल्यका लागि नोट बनेको थियो त्यो मूल्य नष्ट हुन्छ । त्यस्तै धन कमाउनेले पनि अन्यत्रबाट ल्याएको हुन्छ र दोस्रो पक्षबाट उक्त मूल्य गुमेको हुन सक्छ । तर उक्त धन विनिमयका माध्यमबाट ल्याएको हो भने लिनु वा दिनु बराबर नै हो । न त उसले कमायो न त गुमायो । यस्ता अवस्थाहरूमा शून्य कहाँकहाँ लिने वा नलिने ? यस्ता सन्दर्भहरूले गणितलाई एकातिर जटिलता थपिरहेका हुन्छन् भने अर्कातिर गणितको क्षेत्र र क्षमताको विस्तारमा सहयोग पुराइरहेका हुन्छन् ।

ऋण काढ्ने र धन जोर्ने दुवैको सरदर मान चिन्हका आधारमा शून्य हुन्छ । दुवैको ऋण वा धन नष्ट भएको छैन वा विनिमयबाट यताउति भएको छ भने तिनीहरूको भूमिका रहेको धनको मात्राको सरदर मान शून्य हुँदैन भन्ने धारणाहरू पनि आउन सक्छन् । दुवै पक्षको रकम नष्ट भयो भने तीसँग सरोकार राख्ने अन्य पक्षका लागि पनि नष्ट भयो र तिनीहरू पुनः केही नभएको अवस्थामा रहन्छन् तर तिर्नुपर्ने रकम वा मूल्य भने यथावत रहन सक्छ । यस्ता विविध पक्षहरूमा पनि शून्यले नै काम चलाउन थाल्दा द्वैधता वा बहुअर्थहरू सिर्जना हुन सक्छन् ।

यदि रेकर्ड गर्ने पक्ष स्वतन्त्र छ भने १० रूपैयाँ २ जनालाई वितरण गर्दा प्रतिव्यक्तिमा वितरण भएको रकम रेकर्डमा ५ रूपैयाँ देखिन्छ । त्यस्तै शून्य रकम २ जनालाई वितरण गर्दा वितरण नै हुँदैन । यसलाई रेकर्डमा राख्नै पर्यो भने ० राखिन्छ । १० वटा ० को योग ० हो भन्ने मान्ने हो भने प्रति व्यक्तिलाई ५ वटा शून्य भागमा परेको भन्ने हुन्छ । परिचायक हो भन्ने मान्ने हो भने पनि ० अन्य अस्तित्वका लागि योगात्मक परिचायक हुने हो । वितरण नै नहुनु वा वितरण भएर कुनै मात्रा हात नपर्नु वा कुनै परिमाण हात परेर हराउनु जस्ता अवस्थाहरू अलग विषयहरू नै हुन् । 

कार्य नै नहुनु र कार्य भएर पनि केही नहुनु अवश्य पनि फरक विषयहरू हुन् । गणित पनि वाक्यहरूको संक्षिप्त स्वरूप नै हो र वाक्यले नै गणितको जन्म गराउँछ । मसँग शून्य रकम छ, म शून्य मिटर हिडेँ, मैले शून्यवटा वस्तुहरू जम्मा गरेँ आदि वाक्यहरू त्रुटिपूर्ण छन् । यिनी घटनाहरूका लागि शुद्ध वाक्य हुन्छन् – मसँग कुनै रकम छैन, म एक पाइला पनि हिँडेको छैनँ, मैले कुनै वस्तु पनि संकलन गरेको छैनँ । यसको अर्थ के हो भने शून्यको अर्थ नहुनु भन्ने हुन्छ । यो अर्थमा शून्यका लागि ऋग्वैदिक, ग्रीसेली र अन्य अभावजन्य अर्थ पक्षधर दार्शनिकहरूको बुझाइ सही देखिन आउँछ ।

कुनै जंगलमा १० वटा चरा आए भने भविता १० भयो, उडेर गए भने शून्यता बोध भयो । १० वटा चरा आउँदै आएनन् र त्यस्तो अभावको कल्पना गर्ने कुनै वातावरण वा सोँच नै रहेन भने पनि त्यहाँ चराहरू हुँदैनन् तर शून्यताको कुनै आभास नहुन सक्छ । शून्यताको भविता नै हुँदैन । प्लेटोले आफ्ना मित्रलाई संख्याहरू वास्तविक हुन् वा होइनन् भनी सोधेको उल्लेख भएको पाइन्छ । वास्तवमा संख्याहरू पनि आवश्यकताले निर्माण गरिएका कृत्रिम विषयहरू हुन् । गणितीय शून्य पनि त्यस्तै विषय नै हो । तर कृत्रिम मान्यतालाई साझा मानेका खन्डमा कृत्रिम मान्यताभित्रै रहेर शून्य र संख्याहरूको बोध र वर्णन गर्नुपर्ने देखिन्छ । 

एक अर्थमा शून्यता र भविताका आधारहरू क्रमशः ० र १ मात्र हुन् । २, ३ आदि संख्या १ का विस्तारित स्वरूप वा गुणा वा योगफलहरू नै हुन् । कुनै १ लाई असंख्य खन्ड गर्न सकिन्छ भन्ने अर्थ पनि आउन सक्छ । त्यतिबेला दशमलवभन्दा पछिको सबैभन्दा सानो संख्या पनि एक नै हुन्छ । त्यसैले हुनुको सबै भन्दा सानो, पहिलो र आधार खन्ड १ हो । अर्को अर्थमा भन्ने हो भने हाम्रा ज्ञानेन्द्रियका क्षमता र बुद्धिले सहज रूपमा ग्रहण, बोध र वर्णन गर्न सकिने सबैभन्दा सानो खन्ड वा सापेक्षिक सानो एकाइ जुनसुकै वा जतिसुकै मात्राको भए पनि त्यसलाई “एक” भनी नामकरण र बोध गरिन्छ । 

कुनै मानिसका लागि एउटा वस्तु हराउँदा हुने शून्यता र दुईवटा वस्तु हराउँदा उत्पन्न हुने शून्यताका मात्राहरू पनि फरकफरक हुन्छन् । विभिन्न दार्शनिकहरूले भावनात्मक व्याख्याका सवालमा यस खालका सवालहरू उठाएको पनि देखिन्छ । यस कुरालाई गणितले समेट्न सकेको छैन । यस अर्थमा हरेक भवितापिच्छे शून्यताको मात्रा जोडिएर आएको हुन्छ । तसर्थ शून्यतालाई भविताका सापेक्षतामा )_!, )_@, )_#, === भनी चिनाउन सकिन्छ, जसको अर्थ एउटा वस्तु नहुनुको भाव, दुई वटा वस्तु नहुनुको भाव, तीन वटा वस्तु नहुनुको भाव आदि हुन्छ । यस कुरालाई पनि अंकगणितले अध्ययन गर्ने क्षमता विकास गर्नुपर्ने देखिन्छ ।

गणितीय नाप, आकार, गणना, वर्गीकरण तथा तुलनाका लागि प्रयोग हुने संख्याहरूको निर्माण एकबाट भएको हो । शून्यबाट केही बनेको होइन । यसको आधार भनेको भावबाट आएको अभाव हो । अंकहरू भएपछि यति मात्रा हुनु वा यतिमात्रा नहुनु भनेर बुझ्न सकिन्छ । यसको अर्थ कुनै मात्राको उपस्थिति समाप्त भएपछि वा कतै भएको उपस्थितिको प्रभावपछिमात्र अभावको कल्पना भयो । त्यसैले शून्य भनेको केही नहुनु हो ।

सर्सती हेर्दा मानिसको चेतनामा भाव अभावबाट आएको भन्न सकिने उदाहरणहरू पनि पाइन्छन् । कुनै पनि प्राणीले कुनै पनि खोजका लागि सर्वप्रथम आवश्यकताको महसुस गर्दछ । पहिले केही पनि नभएपछि मात्र हुने र बनाउनेबारे सोचिएको हुन्छ भन्न पनि सकिन्छ । जस्तो, बच्चा जन्मिदासाथ केही कुरा देखेको वा जानेको हुँदैन तर उसले दूध वा कुनै खाने कुराको अभाव महसुस गर्दछ । यसलाई अभावबाट भावको जन्म भएको बताउन सकिन्छ । यही कुरालाई अलिक फरक कोणबाट सोचियो भने भावमय वा अनकूल वातावरणमा मात्र कुनै प्राणीको जन्म हुने वा सिर्जनाको प्रक्रिया थालनी हुने सम्भावना हुन्छ । कुनै भ्रुण कुनै न कुनै माध्यमबाट आहारा लिँदै आएको हुन्छ । ऊ बाहिर आउँदासाथ उसका लागि आहाराको अभाव हुन्छ र अज्ञात रूपमा बच्चाले आहाराको माग गर्दछ ।

एक अर्थमा कसैको जन्म गराउने धारणा पनि उक्त व्यक्तिको अभावको महसुस भएपछि आएको हो भन्न पनि सकिन्छ । त्यसो हो भने त्यस्तो धारणा ल्याउन अभाव महसुस कोबाट कसरी भयो ? त्यो अभाव सोच्ने पक्षको आरम्भ भावजन्य परिस्थितिमा भयो कि भएन ? आदि विविध ढंगबाट प्रश्न गर्दै जाँदा शून्यको सोचाइको आधार पनि मानव उत्पत्ति र विकासक्रमको आधारसम्म पुग्दछ । यसर्थमा शून्यको बुझाइ त्यति सहज, सतही र हल्काफुल्का छैन भन्ने हुन्छ । गणितका सन्दर्भमा भने हामीले कृत्रिम तौरतरिका वा जुक्तिपछिको अवस्थालाई आधार मान्नुपर्दछ ।

मानौँ मसँग ३ रूपैयाँ छ । भएको मात्रा +३ रूपैयाँ भयो । मेरो ऋण ३ रूपैयाँ छ भने भएको मात्रा –३ भयो । मसँग भएको रकमको सरदर मात्रा (+३–३) वा ० भयो । तर यही कुरा दुई व्यक्तिबाट भएको भए प्राप्ति वा अप्राप्तिका लागि प्रचलित नियमअनुसार २ ले भाग गरिन्थ्यो । यस प्रकारको सरदर मान वा रिक्तताको अवस्थालाई शून्य भनी मानिन्छ ।

कुनै गाउँमा बाढी आयो । मानौँ ‘क’ले जम्मा भएको १ वटा बाख्रा गुमायो, ‘ख’ले भएका २ वटै बाख्रा गुमायो । ‘ग’ ले भएका ३ वटै बाख्रा गुमायो । तब ‘क’ लाई भएको क्षति १ वटा बाख्रा हो । यो भनेको ‘ख’ र ‘ग’ लाई भएको क्षतिको मात्रा क को तुलनामा क्रमशः २ गुणा र ३ गुणा नै हो । न यो ऋण हो न त धन नै । यो त अभावको संख्या हो । राज्यले क्षतिपूर्ति दिँदा अभावको गणनाको व्यवहारिक प्रयोग गर्दछ तर संख्याहरूको अर्थलाई द्वैध अर्थमा प्रयोग गरिरहेको हुन्छ । यसका लागि संकतन गर्दा )_!, )_@, )_#, === जस्ता अभावहरूको प्रयोग भइरहेको हुन्छ भन्न सकिन्छ । यसै बेला मानौँ राज्यले क्षतिअनुसार क्षतिपूर्ति दियो । तब त्यो अभावको मात्रा हटेर गयो तर भाव भएन, धन पनि भएन । यतिबेलाको अवस्था हेर्दा ऋण तिरेपछिको तटस्थ अवस्थाजस्तो पनि देखिन्छ । सरदर मान निकाल्दा भावपछिको अभाव फेरि भाव रूपमा देखियो । 

ऋण पनि आफ्नै दायित्त्व हो । ऋण तिर्नु पनि आफ्ना लागि काम हुनु नै हो । यो त आवश्यक काममा धन खर्च गरेजस्तै हो । कुनै सामान चाहिँदा खरिद गरेजस्तै हो । पैसा तिरियो, सामान लिइयो । पैसा तिरियो, ऋण चुक्ता गरियो । वस्तुको आवश्यकताजस्तै ऋण तिर्नु पनि आवश्यकता हो । ऋण तिर्नु पनि आवश्यकता पूर्तिका लागि धन खर्च गर्नुजस्तै हो । यसरी ऋण तिरेर पैसा नबच्नुलाई शून्य हो भन्ने मानिन्छ । यसले आफूसँग केही नबच्ने अर्थमा शून्यको प्रयोग भएको देखिन्छ । तर धन नष्ट भयो वा हरायो भने त्यो आफ्नो आवश्यकता पूर्ति गरेको हुँदैन । धन केही नबच्न पनि सक्छ । तर यो अघिल्लो शून्यजस्तो हुँदैन । 

ऋण तिरिएपछिको अवस्थालाई शून्य मान्ने हो भने हराएपछिको अवस्थालाई शून्य मान्न सकिँदैन । ऋण तिर्दा आफूले केही गुमाइएको हुँदैन । बरु भएको धनबाट एउटा आवश्यक काम पूरा गरिएको हुन्छ । तर रकम हराएको वा वस्तु गुमाएको अवस्थामा कुनै आवश्यक काम नगरिकन धन सकिएको हुन्छ । यो अवस्थालाई अभावको मात्राका रूपमा चित्रित गर्नु आवश्यक हुन्छ । धन कमाइँदैमा यस खालको क्षति पूर्ति हुँदैन । क्षति क्षति नै हुन्छ । धन त छुट्टै श्रमपछिको उपलब्धी हो । तर कसैले अनुदानबाट दिएको क्षतिपूर्तिले भने उक्त अभावलाई हटाउन सक्छ । अनयासै गुमेको वस्तु वा विषय अनयासै भएको प्राप्तिबाट मात्र पूर्ति हुन्छ । यतिबेला क्षतिलाई –)_!, –)_@, –)_#, === मानियो भने क्षतिपूर्तिलाई )_!, )_@, )_#, === मान्न सकिन्छ । –१, –२, –३, ... को अर्थ अभाव होइन विपरीत भाव हो तर –)_!, –)_@, –)_#, === आदिको अर्थ अभाव हो । त्यस्तै १, २, ३, ...को अर्थ भाव हो तर )_!, )_@, –)_#, === को अर्थ विपरीत अभाव हो ।

यसरी भाव भनेको हुनु हो, रिक्तता भनेको नहुनु हो । नहुनु, एकातिर गुमाइपछि प्राप्त हुन्छ भने अर्कातिर भाव र विपरीत भावको सरदर मान वा मध्यमानबाट प्राप्त हुन्छ । गुमाइपछिको नहुनु वा रिक्तता शून्य हो अथवा भाव र विपरीत भावपछिको नहुनु वा रिक्तता शून्य हो भन्नेबारे गणितले स्पष्ट समाधान दिएको देखिँदैन । त्यसैले भाव, अभाव र विपरीत भाव तथा तिनीहरूबीचको सम्बन्धलाई यथोचित व्याख्या गर्ने गरी गणितले क्षमता विकास गर्नुपर्ने देखिन्छ ।

५.२. शून्यको सम्बन्ध र लेख्य चिन्ह

गणितीय चिन्हहरू पनि भाषिक पद, पदावली तथा वाक्यहरूका सारसंक्षेप हुन् । तर्क र सत्यतथ्य वाक्यहरूका आधारमा गणितमा संकेतहरूको निर्माण हुन्छ् । शून्य र अन्य.संख्याहरूबीच जोड, घटाउ, गुणन र भागका सन्दर्भमा केकस्तो सम्बन्ध रहन्छ भन्ने कुरामा विभिन्न कार्यहरू भएका छन् । प्रचलित ती सम्बन्धहरूले गणितमा विभिन्न त्रुटिहरू निम्ताएको भनी उल्लेख छ । विभिन्न साइट तथा लेखहरूमा त्यस्ता त्रुटिहरू सूचीकृतसमेत गरिँदै आइएको पाइन्छ तर यथोचित समाधानको उपाय भने सुझाइएको देखिँदैन । यही समस्याका बीच यथोचित संकेतका आधारमा शून्यको शक्ति र सीमालाई मध्यनजर गरी यहाँ आवश्यक र अर्थपूर्ण संकेतको प्रस्ताव गरिएको छ । 

आफूमा शून्यको मात्रा एउटा छ भन्नु र भएको मात्रा शून्य वटा छन् भन्नु एउटै हो । त्यसैले शून्य र संख्याको गुणनफल शून्य हुन्छ भनी मानिँदै आइएको छ । तर उक्त गुणनफल शून्यसँग बराबर हुने अवस्था भने देखिँदैन । बराबर हुन्थ्यो भने क र ख बराबर नभएको अवस्थामा क र शून्यको गुणनफल ख र शून्यको गुणनफलसँग बराबर हुनु पथ्र्यो । जबकि यी दुवैको गुणनफल शून्य नै हुन्छ भनी मानिएको छ । यस्तो अवस्थामा बराबर हुने मानियो भने फेरि क र ख बराबर हुन्छन् भन्नुपर्ने हुन्छ । जुन विरोधाभासपूर्ण हुन्छ ।

शून्यको यस खालको समस्याका लागि सारतुल्य चिन्ह (=. ः संक्षेपमा ‘सार’) को प्रयोग गर्नु उपयुक्त हुने देखिन्छ । यस चिन्हले सार एउटै र संरचना अलग हुन सक्ने अवस्थाका वाक्य वा अर्थहरूलाई सीमित शर्तहरूमा सम्बन्धित गर्दछ । उदाहरणका लागि क र शून्य गुणन गर्दा शून्य हुन्छ भन्नु र ख र शून्य गुणन गर्दा शून्य हुन्छ भन्नुको सार एउटै हो तर दुवै सारसँग जोडिन आएका गुणाकंहरू (क र ख) वा पूर्वअवस्थाहरू अलग हुन् । हामीले धेरै प्रकारका पात्रहरू र फरकफरक परिवेशको प्रयोग भएका फरकफरक कथा, कविता तथा नीतिकथाहरूको सारसन्देश समान भएको पाउँछौँ । तिनीहरू पूर्णतः बराबर छन् भन्न मिल्दैन तर तिनीहरूको सारसन्देश भने एउटै छ भन्न मिल्दछ । 

गणितको अर्थ र बुझाइ सतहमा जेजस्तो देखिए पनि अन्तर्तहमा वाक्य र अर्थको नेतृत्व रहेको हुन्छ । यो यथार्थको खोजीमा केन्द्रित हुन्छ तर मानवीय क्रिया, क्षमता, आवश्यकता, चरित्र र परिवेशभन्दा अलग हुन सक्दैन । अन्तर्तहमा नियालेर हेर्दा जोडघटाउका नियम वा गुणनभागका नियमहरू र तिनका परिणामहरू पनि यसभन्दा बाहिर छैनन् । जस्तो, बाघले भएका १०० वटै बाख्रा खाइदिएर गोठ रित्तै हुनु र भएको एउटा बाख्रो खाइदिएर गोठ रित्तै हुनु एउटै कुरा होइन । गणितले समान हो भनिदिँदैमा यथार्थ समान हुन सक्दैन । बरु यस खालका समस्याको वर्णन, मापन र गणना गर्नका लागि पनि गणितले आफ्नो क्षमता विकास गर्दै लैजानुपर्छ । यस्ता रिक्तता वा घटनाहरू समान हुन् भने क्षतिपूर्ति दिनुपर्दा किन घटीबढी दिइन्छ ?

कुनै परिणामहरूका सारहरू उस्तै हुँदा आंशिक स्वरूप समानजस्तो देखिए पनि समग्र स्वरूप अतुलनीय हुन्छन् । कुनै परिणामहरू भने परस्परमा बराबर पनि हुन्छन् । तुलनीय परिमाण वा परिणामहरू जहिले पनि घट्दो वा बढ्दो क्रममा हुन्छन् । तिनीहरूको मात्रा बढाउन वा घटाउन सकिन्छ । तर शून्यलाई त जतिले भाग गरे पनि वा जतिले गुणन गरे पनि उही परिमाण हुन्छ । त्यसैले शून्यलाई शून्यसँग बराबर हुन्छ भनी गणितीय रूपमा लेख्न सकिँदैन, शून्य अरु संख्याहरूको जस्तो प्रकृति भएको विषय होइन । शून्यले योगात्मक परिचायकको भूमिका निर्वाह गरेका बेलामा मात्र बराबर चिन्हसँग रहेर अर्थ प्रदान गर्न सक्छ । योगात्मक परिचायकका रूपमा नआउने बेलामा पूर्णतः बराबरीको अर्थ दिने चिन्ह (=) ले दिने अर्थगत सम्बन्धमा यो आबद्ध रहँदैन । 

बराबर चिन्ह (=) मा निहित अर्थ र शर्तहरू योगात्मक परिचायकबाहेकका सन्दर्भहरूमा शून्यका लागि वर्जित हुन पुग्छन् । बराबर चिन्हले दुवैतिर समान परिमाणमा एकसाथ थपघट गर्न वा गुणनभाग गर्न अनुमति दिन्छ । यी सबै शर्तहरू शून्यका लागि पनि मान्य हुँदैनन् । शून्यमा केही थप शर्तहरू र स्वभावहरू पनि देखा पर्दछन् । 

शून्यले कुनै संख्यालाई भाग गर्दा आउने भागफल अपरिभाषित हुन्छ । यो अन्य संख्याको भन्दा भिन्न स्वभाव हो । त्यस्तै शून्यलाई जतिले गुणन गरे पनि परिणाम शून्य नै आउँछ । यो पनि अन्य संख्याको भन्दा भिन्न स्वभाव हो । यस्ता स्वभाव हुने कुनै पनि परिमाण बराबर चिन्ह (=) मा योगात्मक परिचायकबाहेकका अन्य अवस्थाहरूमा आउँदैनन् । त्यसैले भावजन्य परिमाणका लागि बनेका सम्बन्ध रिक्तताजन्य विषयका लागि मेल खाँदैनन् । शून्यसँग संख्याको गुणनफल शून्य भएको होइन । शून्यसँग कुनै संख्या गुणनमा आउँदा उक्त संख्या शून्यवटा छन् वा कत्ति पनि छैनन् भन्ने अर्थको निष्कर्षका रूपमा शून्य हुन पुगेको हो । यसले सीमित अवस्थामा प्रतिस्थापन गर्नसम्म अनुमति दिने हुन्छ । अन्य संख्याहरूका सन्दर्भमा भने ती संख्याहरूको वास्तविक गुणनफल नै प्राप्त हुन पुगेको हुन्छ । 

शून्यसँग शून्य बराबर हुन्छ भन्नु भनेको जोड, घटाउ, गुणन र भागका सन्दर्भमा दुवैतिरको परिमाणमा वृद्धि वा ह्रास गर्न सकिन्छ भन्नु हो । तर शून्यका लागि गुणन र भागका सन्दर्भमा यो असम्भव हुन्छ । त्यसै गरी क्रस गुणा विधिको प्रयोग गर्न पाउने अधिकार पनि बराबरका सन्दर्भमा निहित हुन्छ । जबकि शून्यका सन्दर्भमा यो असम्भव हुन्छ । 

शून्यसँगका परिणामहरू बराबर चिन्हसँग सीधै सम्बन्धित नहुनुका पछि अन्य कारणहरू पनि छन् । शून्यलाई शून्यले भाग गर्दा आउने परिमाण राम्ररी परिभाषित हुन सक्दैन । यो आफैमा समस्या हो । कुनै संख्यालाई शून्यले भाग गर्दा सधैँ शून्यमात्र आउँछ । शून्यका सन्दर्भमा, भाज्यमा आएको परिवर्तनले भागफलमा कुनै असर गर्न सक्दैन । जबकि अन्य भाजक संख्याहरू यथावत् राखेर भाज्यमा परिवर्तन गर्दा परिणाममा अन्तर आउँछ । यी कारणले गर्दा पनि शून्यका लागि प्रचलित परम्पराको बराबर चिन्ह र यसले बोक्ने अर्थ मेल खान जाँदैन । यसको अर्थ के हो भने यस खालका सम्बन्धका लागि अर्को चिन्ह (मानौँ =., सार) को निर्माण अपरिहार्य हुने देखिएको छ ।

)_! सँग )_! बराबर हुन्छ भनियो भने )_! र १ को गुणनफल )_! हुन्छ भन्न मिल्दैन । भाव र अभाव गुणन गर्दा फरकफरक आयामहरूको गुणन हुन जान्छ । यतिबेला )_! = )_! लेख्दा एउटा अभावसँग एउटा अभाव बराबर हुन्छ भन्ने अर्थ मिल्छ । दुबैतिर अभावका मात्राहरू बढाउन सकिने हुँदा यो लेख्न सकिन्छ । यसलाई )_!÷)_! = १ लेख्न मिल्छ । त्यस्तै, भावहरू जसरी, )_!÷)_@ = १÷२ नै हुन्छ । यसको अर्थ हो, हराएको कुनै वस्तुको क्षति दुई जनालाई बाँडेर व्यहोरेका खन्डमा दुई जनाको आधाआधा क्षति हुन्छ वा एउटा अभावलाई दुई बराबर खन्डमा बाँडेका खन्डमा अभावको मात्रा आधा हुन्छ । 

वास्तविक आधार लिने हो भने भाव र अभाव दुवै बनावटी र कृत्रिम विषयहरू हुन् । तर मानिसलाई अनुभव हुने अभावलाई भने गणितले हिसाब राख्न सक्दछ । जस्तो, बराबर चिन्हमा अन्य संख्याहरूजसरी उल्लेख गर्न सकिने शून्य भनेको अभाव ()₎) हो । यसको अर्थ अभाव समाप्त भएको अवस्था भन्ने हुन्छ । यो तटस्थ भाव पनि होइन । 

शून्यले गुणन गर्दा कुनै चीज बढ्ने वा घट्ने हुँदैन । जबकि कुनै अंकले गुणन गर्दा उक्त परिमाण बढ्ने वा घट्ने हुन्छ । यस अर्थमा शून्यको अर्थ केही पनि नहुनु नै हो । गुणन गर्नु वा भाग गर्नु एउटै कुरा हो । जस्तो कुनै संख्यालाई ३ ले गुणन गर्दा ३ गुणाले बढ्न पुग्छ । यो ३ वटा उस्तै संख्याको योग हुन जान्छ । तर भाग गर्यो भने घट्दछ र परिणाम उही संख्याको ३ खन्डमध्ये एक खन्ड हुन्छ । गुणन हुने हरेक गुणांकहरू भाजक बन्दा बाँकी रहेको अर्को गुणांक वा बाँकी गुणांकहरूको गुणनफल दिन्छन् । तर शून्यसँग गुणन गरेपछि ती गुणांकहरूबाट त्यो अपेक्षा राख्न सकिँदैन । 

दुई फरक मानहरू गुणन गर्दा तेस्रो मान आउँछ । शून्यका सवालमा यो हुँदैन । शून्यले कुनै मानलाई गुणा गर्दा त्यसको परिणाम नष्ट भएको निस्किन्छ । जस्तो १०० मा –१०० घटाउँदा जे हुन्छ त्यही कुरा १०० लाई ० ले गुणन गर्दा हुन्छ । यसकारण पनि शून्यको कुनै संख्यासँगको गुणनफलका लागि प्रयोग गरिने बराबर, भन्दा ठूलो वा भन्दा सानो जस्ता चिन्हहरूमा समान रूपले कार्य हुन सक्दैन । 

शून्यमा विद्यमान यस समस्याको समाधानका लागि ‘सार’ “=.”, ‘भन्दा ऋणात्मक’ “.<” र ‘भन्दा धनात्मक’ “>.” जस्ता चिन्हको प्रयोग गर्नु आवश्यक देखिन्छ । यी चिन्हहरूमध्ये पहिलो चिन्हले एक परिमाणलाई अर्को परिमाणका स्थानमा प्रतिस्थापन गर्न अनुमति दिई क्रस गुणा विधि र अन्य प्रावधानहरूमा रोक लगाउँछ । यसै गरी पछिल्ला दुई चिन्हहरूमा पनि साबिकका ‘भन्दा ठूलो’ र ‘भन्दा सानो’ भन्ने प्रचलित व्यवस्थामा क्रस गुणा विधि र अन्य बेमेल प्रावधानहरूमा रोक लगाउने अर्थ निहित हुन्छ । शून्य आफैमा परिचायक भएकाले योभन्दा ठूलो परिमाण वा सानो परिमाण अर्को हुँदैन । किनकि यो ऋणात्मक वा धनात्मक परिमाण होइन, स्वतन्त्र परिमाण हो । चिन्ह उस्तै प्रयोग गरे पनि त्यसले दिने अर्थ र बोधमा सुधार अनिवार्य छ ।

५.३. सार र सारीकरण

सारतुल्य (सार) चिन्ह “=.” बराबर (=) र थोपो (.) बाट बनाइएको हो । यसको अर्थ केही पक्ष प्रचलित हुँदै आएको बराबर चिन्ह “=” को जस्तै मिल्न जाने तर त्यसले दिने केही पक्ष निषेधित हुने भन्ने हुन्छ । यहाँ बराबरको दायाँपट्टि केही तलतिर दिइएको थोपो बराबरमा हुने केही शर्तहरूमाथि पूर्णतः रोकावट गरिएको संकेत हो । अंग्रेजीमा यसले वाक्यहरूमा पूर्णविरामको काम पनि गर्दछ । यहाँ बराबर चिन्हको माथिल्लो भागमा नरोकी तल्लो भागमा मात्र पूर्णतः रोकेको अर्थ जनाइएको छ ।  

बराबर चिन्हका लागि बराबर परिमाणले दुईतिर गुणन गर्न पाउने अधिकार र शून्यसँग अन्य संख्याहरूको गुणनफल शून्य नै हुने मानिएकाले जति सुकैले पनि गुणन गर्न पाउने अधिकार जस्ता कुराहरू स्वतः स्वीकार गर्नुपर्ने हुन्छ । यसले गर्दा शून्यका लागि सबै अवस्था खुला राखेर बराबर चिन्हको प्रयोग हुन पाउँदैन । कतिपयले शून्यलाई कुनै संख्याको आधार मानेको पनि पाइन्छ । यसका कारणले पनि बराबरको प्रयोग गरिएको हुन सक्छ । तर त्यसो होइन । शून्यसँग शून्य सीमित रूप वा शर्तहरूमा मात्र बराबर हुन्छ । यसका लागि केही शर्तहरू रोकेको अर्थमा सार (=.) चिन्हको प्रयोग गर्नुपर्ने हुन्छ । यस चिन्हको अर्थ जोडघटाउका लागि मात्र योग्य हुने र बराबरसँग गुणांकका रूपमा शून्य निष्कर्ष आउँदासाथ सार चिन्हको प्रयोग गर्नुपर्छ भन्ने हुन्छ । यस अवस्थामा सारबाट देखिने सम्बन्ध समीकरण नभनेर सारीकरण भन्नुपर्ने हुन्छ र यससँगै क्रस गुणा विधि पनि निषेधित हुन्छ ।

उदाहरण

मानौँ, शून्यबाहेको एउटा संख्या क छ र यो ख सँग बराबर छ, तब तलका अवस्थाहरूका लागि प्रचलित परम्पराअनुसार वर्णन र परिमाणन गरौँ ।

क – ख = ० ... (समीकरण १)

अब, समीकरण १ बाट, दुवै पक्षमा (क – ख) ले भाग गर्दा,

१ = ० ... (परिणाम अ), जुन त्रुटिपूर्ण छ ।

उक्त समीकरणलाई ९÷(क – ख) ले गुणन गरेका भए ० = ९ पनि हुन्थ्यो । यसले एकातिर जुनसुकै संख्यासँग पनि शून्य बराबर हुन्छ भन्ने नतिजा दिन्छ भने अर्कातिर जुनसुकै संख्यासँग जुनसुकै संख्या पनि बराबर हुन्छ भन्ने परिणाम पनि आउँछ । यसबाट के बुझिन्छ भने, एकातिर ० आफूसमेतका कुनै पनि संख्यासँग बराबर हँदैन तर अरु केही हुन्छ । यहाँ के पनि बुझिन्छ भने, गुणन र भागका सम्बन्धहरूमा शून्यका लागि बराबर चिन्हले काम दिँदैन । त्यसैले क – ख भनेकै शून्य हुने भएको हुँदा त्यसलाई त्यसैले भाग गर्दा अपरिभाषित हुने गरी भाग गर्न पाइँदैन भनी उल्लेख गर्ने गरिन्छ ।

त्यसै गरी अब, हामीले क र शून्यको गुणन गरौँ, जसको मान ० नै हुनेछ,

क × ० = ० ... (समीकरण २)

अब समीकरणहरू १ र २ दाजौँ,

० = ० ... (समीकरण ३)

यहाँ लेख्य संकेत हेर्दा समीकरण ३ सत्य जस्तो देखिन्छ तर अन्तरतहमा नियाल्दा यो समीकरण सत्य छैन । पहिलो समीकरणको शून्यको अर्थ भनेको बराबरी र विपरीत परिणामहरूबाट प्राप्त शून्य हो भने दोस्रो समीकरणको शून्यको अर्थ भनेको कुनै परिमाण हुँदै नभएर आएको शून्य हो । पहिलो समीकरणमा प्रापक शून्य अवस्थामा आएको भनी मान्ने हो भने उसले दोस्रोको भन्दा बढी ज्ञान र अनुभव लिइसकेको हुन्छ ।

गणितीय संकेतहरू निर्माणका क्रममा अर्थगत द्वैधता वा विभिन्नतालाई समानता वा अभिन्नताका रूपमा अभिव्यक्त गर्दा यस खालका समस्याहरू आएका हुन् । यी दुवैबाट प्राप्त भएको परिणाम भनेको सार हो । यस्ता संक्रियाहरूबाट नहुनु वा शून्यताको सम्पूर्ण र मूर्त स्वरूप प्राप्त गर्न सकिँदैन ।

यदि यसलाई माथि भनेझैँ समीकरण नमानी सारीकरण १ र सारीकरण २ मान्ने हो भने निम्नवमोजिम नतिजा आउनेछ,

मानौँ, क शून्यबाहेको संख्या हो र ख सँग बराबर छ, तब,

क – ख =. ० ... (सारीकरण १)

त्यसै गरी हामीले क र शून्यको गुणनबाट आउने सार लिऔँ, जसको मान शून्य नै हुनेछ,

क × ० =. ० ... (सारीकरण २)

अब सारीकरणहरू १ र २ दाजौँ,

० =. ० ... (सारीकरण ३)

यहाँ लेख्य संकेत हेर्दा सारीकरण ३ सत्य छ र अन्तरतहमा नियाल्यौँ भने पनि यो सारीकरण सत्य नै हुन्छ । पहिलो सारीकरणको शून्यको अर्थ भनेको बराबर र विपरीत परिणामहरूबाट प्राप्त शून्य हो भने दोस्रो सारीकरणको शून्यको अर्थ भनेको कुनै परिमाण हुँदै नभएर आएको शून्य हो । यहाँ गणितीय संकेत निर्माणका क्रममा अर्थगत द्वैधता वा विभिन्नतालाई असमानता वा भिन्नताका रूपमा नै अभिव्यक्त गरिएको छ । यस्तो अवस्थामा, 

क × ० =. ० ... (सारीकरण ३)

ख × ० =. ० ... (सारीकरण ४)

अब सारीकरण ३ र ४ दाँज्दा ० =. ० नै हुन्छ तर क =. ख हुँदैन । किनकि यो सारीकरण हो समीकरण होइन, संक्षेपीकृत चिन्हजस्तै पनि हो । सारीकरणमा सारभूत अर्थ, विषय वा परिमाणमात्र समतुल्य हुन्छन् । समीकरणका सन्दर्भमा गुणांक र भाजकहरू पनि परस्परमा बराबर हुन्छन् तर सारीकरणमा आएका गुणांक र भाजकहरू परस्परमा बराबर वा समतुल्य हुँदैनन् । सारीकरणमा जोडिन वा घटाइन आएका विषयहरूमात्र बराबर हुन्छन् भन्ने दर्शाउनका लागि बराबरको माथिल्लो भागमा रोकावट चिन्हको प्रयोग गरिएको छैन । यसबाट शून्यका कारण गणितमा निम्ताउने यावत् समस्याहरू समाधान हुन पुग्छन् ।

शून्यलाई नहुनु भन्ने अर्थमा लिइन्छ । कतिपय अवस्थामा अन्य संख्याको तुलना गरेझैँ शून्यलाई पनि तुलना गरिएको देखिन्छ । गणितमा ऋणात्मक संख्यालाई शून्यभन्दा सानो मान्ने र धनात्मक संख्यालाई शून्यभन्दा ठूलो मान्ने गरेको पाइन्छ । यस मान्यताअनुसार शून्यको अर्थ केही पनि नहुनु होइन बरु शून्य धनात्मक संख्याहरूभन्दा सानो र ऋणात्मक संख्याहरूभन्दा ठूलो मान भएको संख्या हो भन्ने अर्थ यसमा निहित हुन्छ । गणितमा शून्यको अर्थ ‘नहुनु हो’ पनि भन्ने र फेरि यसको अर्थ ‘नहुनु होइन’ पनि भन्ने गरिएको पाइन्छ । त्यसैले भन्दा सानो र भन्दा ठूलो जनाउने चिन्हहरू शून्यबाहेकका अन्य संख्या वा परिमाणबीचको तुलनामा मात्र उपयुक्त हुन्छन् । यस सन्दर्भमा पनि शून्यका लागि छुट्टै संकेत निर्माण गर्नु आवश्यक हुन्छ ।

शून्य र अन्य संख्याहरूको बीचको सम्बन्धलाई तुलना गर्दा ‘ऋणात्मक सार’ र ‘धनात्मक सार’ का अर्थमा क्रमशः “.<” र “>.” प्रयोग गर्नु उपयुक्त हुन्छ । माथि उल्लेख गरिएझैँ यी चिन्हहरूले पनि ‘सार’ “=.” ले ‘सारीकरण’मा खेलेको भूमिकाजस्तै गरी गुणन र भागका सन्दर्भमा आएका शून्यका गुणांकहरूको सार परस्परमा घटी वा बढी नहुने अर्थ दिन्छन् ।

यसरी प्रवृत्तिका हिसाबले तुलनीय देखिने विषयहरूको तुलनाका लागि मात्र सम्बन्धित सम्बन्धहरूको निर्माण गरिन्छ । शून्य र संख्याहरूबीचमा समान खालको स्वभाव र प्रवृत्ति देखिँदैन । त्यसमा पनि शून्यसँग अन्य संख्याहरूको गुणनफल निकाल्दा जति संख्या बदले पनि परिणाम शून्यमात्र आउँछ । यसरी संख्याहरूको शून्यसँगको गुणनको सार तथा भागफल अन्य संख्याहरूको भन्दा नित्तान्त फरक प्रकृतिको रहेका कारण त्यस अवस्थाको सम्बन्धका लागि सोही अनुरूपको अनुमति निहित भएको चिन्हको प्रयोग अनिवार्य हुन्छ ।

५.४. लेख्य संकेत र स्थानमानको प्रभाव

गणित वा विज्ञानमा लेख्य संकेतहरू मूलतः संक्षिप्तता, स्पष्टता र सरलताका लागि प्रयोग गरिन्छ । लेख्य संकेतहरू जेजस्ता स्वरूपका भए पनि तिनमा वाक्य, पद वा पदावलीको वास्तविक अर्थ निहित हुन्छ । यदि लेख्य संकेत र तिनको प्रयोगमा द्वैधता र बहुअर्थीपन देखियो भने उक्त लेखन वा संकेतनमा समस्या रहेको मानिन्छ । गणितमा केही संख्या तथा शून्यका लागि प्रयोगमा ल्याउँदै गरिएका संकेतहरूले दिने अर्थमा द्वैधता रहेको देखिन्छ । खासमा शून्य र शून्यको प्रयोग गरिने संख्याहरूमा निहित अर्थहरूमा लेख्य संकेत, लेखन शैली वा पद्धति र स्थानमानको निहित मान्यताका कारण समस्या उत्पन्न भएको देखिन्छ । 

फरकफरक स्थानमानका रूपमा आउने गोलाकार संकेतहरूलाई पनि शून्य नै भनी नामकरण गरिदिँदा लेखाइ र बुझाइ दुवैमा एकसाथ भ्रम उत्पन्न भएको देखिन्छ । शून्य (०) समेत गरी १० वटा अंकहरू छन् भन्ने धारणा वास्तवमा सही देखिँदैन । शून्य त केही पनि नहुनु हो । १ को रिक्ततामा पनि ० ले काम दिन्छ र १० को रिक्ततामा पनि ० ले नै काम दिन्छ । यो अन्य संख्याको दर्जामा राख्न मिल्ने वा त्यस्तो प्रवृत्ति अंगाल्ने अंक वा अर्थ बोकेको संकेत होइन । एकाइबाट निर्मित संख्या वा परिमाणहरूलाई मात्र एकै वर्गका संख्याहरूमा राख्न वा अंकन गर्न सकिन्छ । 

उदाहरणका लागि, कुनै चौरमा १० वटा बाख्राहरू छन् भन्ने हो भने त्यहाँ ठूला वा साना जेजस्ता भए पनि १० वटा बाख्राहरू नै छन् भन्ने अर्थ हुन्छ । यसको अर्थ ढुंगा वा काठका टुक्राहरूसमेत गरेर १० वटा बाख्रा छन् भन्ने हुँदैन । यसको अर्थ के हो भने ० लाई संख्या र अन्य परिमाणजसरी नै अंक मान्ने हो भने अरुलाई अंक वा संख्या मान्नु त्रुटिपूर्ण हुन्छ भने अरुलाई संख्या वा अंक मान्ने हो भने ० लाई संख्या वा अंक मान्नु त्रुटिपूर्ण हुन्छ । लेख्य संकेतमात्र मान्ने हो भने पनि एकै वर्गको अर्थ दिनका लागि भनी निर्माण गरिएका संकेतहरूमा निहित अर्थमा पनि समानता नै हुनु अनिवार्य हुन्छ ।

शून्यबाहेकका संख्याहरूलाई हुनुको अर्थ दिने संकेतहरूमा व्यक्त गर्दा तिनीहरू हुनुको अर्थ दिने संकेतहरूको समूहमा मात्र अंकहरू पर्दछन् । यतिबेला उनीहरूले समान प्रवृत्तिका संकेतहरूसँग राख्ने सम्बन्ध र फरक प्रकृतिका संकेतहरूसँग गर्ने सम्बन्धमा अन्तर हुन पुग्दछ । नहुनुको अर्थ दिने संख्यालाई कुनै संकेत दिँदा ती संकेतहरू नहुनुको अर्थ दिने संकेतको समूहमा पर्दछन् । त्यसैले प्रचलित गणितीय प्रयोगले हुनु र नहुनुलाई एकै वर्गमा राखेको देखिन्छ । यसले विस्तारै धेरै नै क्षति पुराउँदै जान्छ । फलतः त्रुटिपूर्ण विषयमा अध्ययन अनुसन्धान हुन पुगी परिश्रम र लगानी अर्थहीन बन्नुका साथै मानवजाति गलत रूपले मार्गनिर्देशित भइरहेको हुन्छ ।

सम्भव भएसम्म स्पष्टताका लागि दश, सय, हजार आदि स्थानमा आउने शून्यको लेख्य संकेत अलग हुनु अनिवार्य छ । किनकि १०, १०० आदिमा आउने भनिएको संकेतले शून्यको अर्थ दिदैन । दशलाई छुट्टै संकेत नदिई एकसँग शून्यको आवृत्ति गराउनाले त्यस खालको प्रतीत भएको हो । उदाहरणका लागि नौपछि आउने दशको अर्थ बोक्ने संकेतका लागि ११ लेखिएको भए १९ लेखिने संकेतसँग दश आधारको १८ बराबर हुन्थ्यो । यस सन्दर्भमा नौको अर्थ दिने लेख्य संकेत ९ हुन्थ्यो भने त्यसको दोब्बर अर्थ दिने लेख्य संकेत १९ हुन्थ्यो । यही आधारमा नौको अर्थ दिन संकेतका रूपमा ० को मात्र प्रयोग गरेको भए नौको दोब्बरको अर्थका लागि १० को प्रयोग हुन्थ्यो । यसको अर्थ के हो भने यसरी स्थानको स्थानमानका रूपमा देखिने ० नहुनुको अर्थ दिने शून्यजस्तो संख्या होइन ।

प्रचलित संकेतन पद्धति दशका आधारमा आधारित छ । यस लेखन पद्धतिमा दशको अर्थ दिनका लागि ० चिन्हको प्रयोग गरेको भए यसको दोब्बर (बीसको अर्थ) का लागि लेखिने संकेत १० हुन जान्थ्यो । तर पहिल्यै दशको अर्थका लागि नै १० को प्रयोग गरिदिएकाले बीसको अर्थका लागि लेखिने संकेत २० हुन पुग्यो । यसको अर्थ के हो भने दशको दोब्बर भनेको बीसौँ स्थानमा प्रयोग गरिने संकेत हो । २० लेख्दैमा बीस हुने होइन, १० लेखे पनि बीसको अर्थ हुन सक्थ्यो ।

अंकगणितमा ० मा १ थप्दा १ हुनु र १० मा १ थप्दा ११ हुनु उस्तै जस्तो देखिन्छ । यहाँ ० भित्र केही पनि छैन, यो अनुपस्थितिमा उपस्थिति हो । तर १० मा १ थप्नु भनेको उसकै भित्रको एउटा अंशबराबरको परिमाण थप गर्नु हो । त्यसै गरी २०, ३०, ४०, ... १००, ..., १०००, ... आदिमा १ थप्दा आउने परिमाणहरू ० मा थप गरिएजस्ता परिमाणहरू होइनन् । यहाँ पनि थपिएका थप मात्रा भने उति नै भएको पाउन सकिन्छ ।

घातांकमा प्रयोग भएको शून्यको अर्थ फरक जस्तै देखिन्छ । यतिबेला शून्यले कुनै आधारमा आधारित भएर भूमिका निर्वाह गर्दछ । तर घातांकमा शून्य आएमा प्रचलित चिन्ह र नियमहरू लागु गर्दा अर्थ मिल्ने हो वा होइन भन्ने कुरामा थप अध्ययन गर्नु आवश्यक देखिन्छ । जस्तो, घातांकको नियमअनुसार १०० = १० लेख्न पाउने देखिन्छ । यो घातांककै नियमको विपरीत छ । आधार समान नभई घात बराबर भएका परिमाणहरू परस्परमा बराबर हुने भन्ने अर्थ यसले दिन्छ । यदि यी परस्परमा बराबर हुन्छन् भने १० र १ पनि परस्परमा बराबर हुन्छन् भन्ने अर्थ आउँछ । यस्तो अवस्थामा ० घात भएका आधारहरूसमेतको मानलाई जोडको परिचायकका रूपमा ल्याउन पनि सकिन्छ र तिनलाई सार बराबर (=.) हुने भनी मान्न पनि सकिन्छ । तर घातांकमा रहने शून्यका सम्बन्धमा भने यो लेखमा यकिन गर्न सकिएको छैन ।

अक्षमा रहने विन्दु वा केन्द्रका रूपमा शून्य रहने भन्ने भ्रम भएका कारण कतै १ को निर्माण शून्यको विस्तारबाट हुन्छ भन्ने मान्यताबारे चर्चा गरिएको पनि देखिन्छ । वास्तवमा १ को निर्माणका लागि शून्यको कुनै भूमिका वा संलग्नता भएको हुँदैन । दुई लम्बाइ वा मानका बीचमा केही पनि नभएको अवस्था शून्य हो, त्यो कुनै विन्दु होइन । ऋणात्मक वा धनात्मक जुनसुकै मान भए पनि तिनीहरूले आआफ्ना मानहरू लिएका हुन्छन् । तिनीहरूको निर्माणमा शून्यसँग कुनै सम्बन्ध रहेको देखिँदैन । 

गणितमा शून्यका लागि सकेंतमा समानता र अर्थ एवम् प्रयोगमा भिन्नता रहने अवस्थाहरू देखिन्छन् । दश, सय, हजार आदि स्थानमा आउने शून्यहरू संकेतमा मात्र उस्तै देखिएका हुन् । यी शून्यको अर्थ नित्तान्त फरक हुन्छ । त्यसैले यो शून्य होइन । जस्तो १०० मा आएका दुई शून्यहरूले अन्त्यतिरबाट ९९ लाई १ पटक गुणन गरी १ थप गर्दा आउने परिमाण बताइरहेका हुन्छन् भने २०० मा आएका दुई शून्यहरूले ९९ लाई २ पटक गुणन गरी २ नै थप गर्दा आउने परिमाण भन्ने अर्थ दिएका हुन्छन् ।

उदाहरणका लागि मानौँ कागले आफ्नो फुल र कोइलीको फुललाई उस्तै आकारमा देख्छ । सादा रेखाचित्र बनायो भने पनि दुबै उस्तै हुन्छन्, झन्डै शून्यजस्तै देखिन्छन् । तर ती फुलहरूमा निहित जीवहरू अलगअलग हुन् । कोरल्दा अर्कै स्वभावका बच्चाहरू निस्किन्छन् । कुखुराको खोलेसमा हाँसका फुलहरू राखिदिए पनि उसले कोरल्छ तर पछि हाँस हाँस नै हुन्छ कुखुरा कुखुरा नै हुन्छ । शून्यको लेख्य संकेतको आकार पनि हेर्दा उस्तै भए पनि प्रयोगहरू फरकफरक छन् र अर्थहरू फरक छन् । त्यसैले तिनीहरूको मनलाग्दी मिसावट गर्नु उपयुक्त हुँदैन । आजसम्म जेजस्तो भ्रम भयो, भावी पुस्ताका लागि पनि यही भ्रम सार्नु हुँदैन । इतिहास हेर्ने हो भने गणितमा हिजो पनि थुप्रै भ्रमहरू थिए । आजसम्म आइपुग्दा ती भ्रमहरू छानिँदै आएका छन् र भोलि पनि आजका भ्रमहरू छानिने क्रम जारी हुनेछ । 

गणनाका बेला १ ले एउटाको उपस्थितिको अर्थ दिन्छ र २, ३ आदि संख्याहरू यसकै योगका प्रतिफलहरू हुन् । विन्दु र दुरीका बेला १ भन्नाले मानहीन अवस्थाबाट मानको एउटा मात्रासम्मको लम्बाइ वा परिमाण भन्ने अर्थ निहित भएको हुन्छ । यसै आधारमा विकसित कुनै मानलाई आधार लिँदा उक्त मानसम्मको परिमाणबाहेकको अर्को परिमाणसम्मको मात्रा भन्ने अर्थमा पनि १ वा यसकै समग्रता प्राप्त हुन सक्छ । 

यस लेखमा संकेतमात्र नभई प्रयोजनसमेतको अन्तर्निहित अर्थ भएकोजस्तो दश पहिल्यै पत्ता लगाएर सोही अनुरूपको लेखन पद्धति अपनाइएको भए आजका अंकसमुच्चयका बीचमा शून्य (०) रहने थिएन भन्नेबारे पनि जानकारी गराइएको छ । शून्य त केवल केही पनि नहुनुका अर्थमा प्रयोग हुने थियो । कुनै पनि लेखन वा अंकगणितीय परिमाण तथा सम्बन्धबाट आउने परिणामहरूमा शून्य (०) रहने थिएन भन्ने कुरा यहाँ स्पष्ट गरिएको छ । त्यतिबेला दश पत्ता नलागेका कारण नै अंकहरूको बीचमा हातलागीसहितको शून्य (०) को प्रयोग गरिएको स्पष्ट हुन्छ । तर लेखन पद्धतिका सन्दर्भमा परिवर्तनको उद्देश्य यो लेखको रहेको छैन । अन्तर्निहित यथार्थको पहिचान गर्न र थप गर्नुपर्ने विषयमा यस लेखले जोड दिएको छ ।

५.५. दश के हो ?

“दश” को अर्थ र बुझाई “एक” (१) र “शून्य” (०) मिलाएर लेख्दा देखिने लेख्य संकेत अंकसमुच्चयमात्र “दश” (१०) होइन । यसका लागि उच्चार्य संकेतका रूपमा आउने ध्वनि “दश” मात्र पनि “दश” होइन । न त “द” र “श” बाट बनेको लेख्य संरचना “दश” नै हो । बरु गणनाका सन्दर्भमा “दश वटा कुनै वस्तु” वा नापका सन्दर्भमा “दश मिटर वा अन्य सम्बन्धित एकाइहरू” अथवा आकार, वर्गीकरण र तुलनाका सन्दर्भमा आउने सोही प्रकृतिका अर्थहरू नै दशका अर्थ र बुझाइहरू हुन् । यो नै संख्या हो, संकेतहरू यादृच्छिक हुन्छन् । तर यस खालका अर्थ र बुझाइअनुरूप प्रचलित गणितीय प्रयोगहरूमा दशको स्थापना गरिएको देखिँदैन । प्रयोगका क्रममा दश र दशको गुणासँग सम्बन्धित शून्यजन्य अंकसमुच्चयहरूले अन्य अंकसमुच्चय र अंकहरूभन्दा भिन्न रूपले शून्यको पवृत्ति निहित संख्याजसरी भूमिका खेलेको पनि देखिन्छ ।

“दश”, “नौ” भन्दा एकले बढी र “एघार” भन्दा एकले घटी जनाउने संख्या हो । स्पष्टता र वास्तविकताका लागि यसलाई पनि नौ वा एघारजसरी नै लेख्न र गणितीय नियमहरूमा समान रूपले सहभागी गराउन आवश्यक हुन्छ । दशलाई आधार मानेर गणना गर्ने र लेख्ने पद्धति हाम्रो शरीरका आधारमा निर्माण गरिएको आधार हो । हाम्रा दुई हातका दशवटा औँलालाई गन्नका लागि प्रयोग गर्ने चलन विश्वभरि पहिले देखि नै चल्दै आएको हो । यसैलाई आधार मानेर आजको गणितीय विधि अघि बढेको देखिन्छ । हाल यसैका आधारमा शून्य र एकको प्रयोग गरी दश (१०) लेखिन्छ । 

अंकगणितमा शून्य (०) भन्नाले नहुनु भन्ने अर्थ हुन्छ । सामान्य व्यवहारमा पनि शून्यले कुनै पनि भाव वा मात्राको उपस्थिति नहुनु वा कुनै पनि परिमाण नहुनु भन्ने अर्थ दिन्छ । दशको लेखनमा एक (१) पनि प्रयोग हुन्छ । एक भनेको हुनुको पहिलो आधार हो । दशको लेखनका लागि हुनुको पहिलो आधारका रूपमा रहेको एक र नहुनुको अर्थ दिने शून्यको प्रयोग गरिन्छ । दशमा आइपुग्दा भने उक्त शून्यले शून्यको अर्थ छोडिसकेको हुन्छ ।

दशमा प्रयोग भएको संकेत दृश्यमा शून्यजस्तो देखिए पनि त्यो शून्य होइन । अन्य संकेत राखेको भए पनि दश, बीस आदिमा यसको आवृत्ति हुन्थ्यो । संकेतका लागि ० का स्थानमा ९ राखेको भए पनि ९ ले ० कै अर्थ दिएको प्रतीत हुने थियो । दशमा आधारित भनिएको लेखन पद्धतिमा दशका गुणनफलहरू बीस, तीस, चालीस आदिमा पनि दशमा रहने दुई संकेतमध्ये पछिल्लो संकेत “०” रहने भएकाले कुनै अंकले गुणन गर्दा आउने परिणामको अन्तिममा “०” नै हुन पुगेको देखिएको हो । दशमा पनि दुई वटा ९ वा दुई वटा ८ जोड्दा देखा पर्ने हातलागीजस्तै हातलागी रहेको हुन्छ तर त्यो हातलागी १० को लेखनमा आउने १ का रूपमा पहिल्यै ल्याइएको हुन्छ । यही कारणले गर्दा गोलाकार संकेतले शून्यकै विशेषता अँगालेको प्रतीत हुन्छ ।

दुईलाई आधार मानेर लेख्ने पद्धतिमा पनि यही लेखन पद्धतिको प्रयोग गरिएको देखिन्छ । आज संसारभरिका कम्प्युटरहरूमा पनि यही र यस्तै लेखन पद्धतिहरूलाई आधार मानिएको छ । यस लेखले नयाँ लेखन पद्धतिको अपेक्षा राख्दैन । तर यसले दश के हो वा थियो भन्ने कुरा बुझाउन भने अवश्य सहयोग पुर्याउँछ । यसकै आधारमा २०, ३०, १००, १००० आदि अंकसमुच्चयहरू पनि बुझ्न सहयोग पुग्नेछ । 

अर्थ बुझाउनका लागिमात्र लेख्य वा ध्वन्यात्मक संकेतहरू प्रयोग गरिन्छ । यस्ता लेख्य संकेतहरू यादृच्छिक हुन्छन् । तर ती संकेतले द्वैध अर्थ दिनु हुँदैन किनकि गणितजस्तो विषय नै अस्पष्ट र अन्योलग्रस्त हुनु भनेको दुखद पक्ष हो । अर्थ बुझाउन प्रयोग गरिने ध्वन्यात्मक वा लेख्य संकेतहरूबाहेक अर्थ र लेखन पद्धतिका अन्तर्निहित स्वभावहरू पनि हुन्छन् । यसबारे स्पष्ट हुनका लागि केही उदाहरणहरू हेरौँ । 

मानौँ दश वटा अंकहरू १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९ र ९ं छन् । यिनीहरूलाई गणनाका आधारमा एक, दुई, तीन, चार, पाँच, छ, सात, आठ, नौ र दश भनी उच्चारण गरौँ । हामीले बुझिने एघार, बाह्र, तेह्र, चौध, पन्ध्र, सोह्र, सत्र, अठाह्र, उन्नाइस र बीसका लागि यसकै आधारमा संकेतहरू बनाऔँ । यी अर्थहरूका लागि क्रमशः ११, १२, १३, १४, १५, १६, १७, १८, १९ र १९ं संकेतहरू बन्न आउँछन् । एवम् रीतले तीस, चालीस, पचास, साठी, सत्तरी, असी, नब्बे र सयका लागि क्रमशः २९ं, ३९ं, ४९ं, ५९ं, ६९ं, ७९ं, ८९ं र ९९ं बन्दछन् । त्यस्तै हजार, दश हजार र लाखका लागि क्रमशः ९९ं९ं, ९९ं९ं९ं र ९९ं९ं९ं९ं लेख्न सकिन्छ । यहाँ सय जनाउने संकेत दुई वटा अंकको छ तर वास्तविक सय तीन वटा अंकको हुन्छ भन्ने सवाल पनि आउन सक्छ । यो त हामीभित्र बसेको छापको प्रभाव हो, बुझ्नका लागि उच्चारण पनि फरकफरक बनाउन सकिन्छ । यसबाट पनि शून्य केवल नहुनुमा वा कुनै पनि परिमाणको मात्रा नहुनुको अर्थमा मात्र प्रयोग भएको हुन्छ भन्ने कुरा स्पष्ट हुन्छ ।

जोडका लागि दुई वटा ९ं जोड्दा १९ं हुन्छ । यसमा पनि प्रचलित शैलीमा १० लेख्दाझैँ ९ं लाई पहिल्यै १९ं लेखिदिएको भए ९ं मा ९ं जोड्दा २९ं हुन पुग्थ्यो र त्यही अनुसारको लेखन शैली अपनाइन्थ्यो । तर यहाँ ९ं लेख्दा हातलागी पहिल्यै नल्याइएकाले उक्त हातलागी पछि लिनुपर्ने भयो । यसले के देखाउँदछ भने शून्यको भूमिका १ मा १ घटाउँदा वा २ मा २ घटाउँदा आउने परिमाणजस्तै मात्र हुन जान्छ र अन्य अंकसमुच्चयहरूमा यसको भूमिका हुँदैन । लेखन शैली र समान संकेतका कारण हातलागी पहिल्यै लिइए पनि थाह हुन नसकी शून्यको भूमिका रहेको देखिएको हो । यस लेखको सुझाव भनेको लेखन शैलीमा सुधारको अपेक्षा होइन तर शून्यको शून्यजन्य भूमिका कुनै पनि संख्याहरूको बीच वा अन्त्यमा भएको हुँदैन, केवल स्वतन्त्र रूपमा आउने अवस्थाको अर्थमा मात्र हुन्छ भन्ने हो । 

दशलाई ९ं मानी सबै अंकसमुच्चयहरूलाई माथिझैँ लेखिएका खन्डमा जोड, घटाउ, गुणन र भाग गर्ने प्रकृयामा केकस्तो असर पर्दछ ? भन्ने सवाल पनि निराकरण हुनु उपयुक्त हुनेछ । जोडमा हातलागी लिँदा अन्य अंकसमुच्चयहरूमा पहिलेको जस्तै हातलागी लिनुपर्दछ भने ९ं, १९ं, २९ं आदिले क्रमशः १०, २०, ३० आदिको संकेत दिए पनि हातलागी क्रमशः १, २, ३ आदि नलिई क्रमशः ०, १, २ आदि लिनुपर्ने हुन्छ । घटाउमा ० नहुने हुँदा ९ं का लागि हातलागी लिनु हुँदैन । १, २, ३ आदिका लागि भने ११, १२, १३ आदि नै लिएर समस्या समाधान गर्न सकिन्छ । गुणनका सवालमा पनि जोडमा जस्तै तरिका अपनाउन सकिन्छ । भागका सन्दर्भमा भने भाज्यको भाग गर्नुपर्ने बाँकी खन्ड वा भाग वा अंकसमुच्चय बाँकी छँदासम्म पूर्णतः भाग खाने स्थानमा पनि पूर्णतः भाग नखुवाई केवल शेष राख्दै जाने र अन्त्यमा मात्र भाग खाएमा भाग गर्ने गर्नु पर्दछ । शेष रहँदै जाने अवस्थामा भने प्रचलित व्यवस्थाकै नियम सही हुन्छ । भाज्य भाजकभन्दा सानो भएमा पहिलेकै जसरी अंकको स्थानमान लिनुपर्ने हुन्छ । 

प्रचलित अंकगणितीय लेखनशैली प्रयोगको लामो इतिहास, अभ्यास र विकसित निहित अर्थबाट आफैमा सुन्दर र सहज बन्दै गएको छ । प्रचलित यस लेखन शैलीमा सुधार गर्नुपर्ने सुझाव दिने उद्देश्य यो लेखको रहेको छैन । तर शून्यका सवालमा भने ० का स्थानमा ०ं प्रयोग गरेका खन्डमा यो शून्य होइन भन्ने अर्थ निहित हुन सक्नेछ । यही संकेत राखे पनि त्यसमा हातलागी अघि नै ल्याइएको हुन्छ भन्ने कुरातर्फ प्रयोगकर्ताहरूले ध्यान दिनु आवश्यक देखिन्छ । 

देवनागरी, अरबियन, बेंगली आसामी, गुजराती, गुरमुखी, उडिया, लेप्चा, तेलगु, कन्नडा आदि लिपिहरूमा हिन्दू अरबिक लेखनशैलीको प्रभाव रहेको पाइन्छ । चाइनिज, रोमन, इथोपिक, खमेर, कोरियन आदिले अंक वा अंकसमुच्चयहरूलाई आआफ्ना तरिकाले संकेतन गर्ने गरेको देखिन्छ । रोमन लिपिमा दशपछि बीससम्मका अंकसमुच्चयहरूलाई दशमा थप गर्ने, पन्ध्रमा घटाउने र बीसमा घटाउने तरिका अपनाइएको देखिन्छ । 

आफ्नो भाषामा सरल लेखनका क्रममा चाइनीजहरूले दशदेखि उन्नाईससम्म दशपछि एक, दुई आदि थप गर्दै जाने र बीसका लागि बाह्रलाई एक्काईस बनाएझैँ स्थान परिवर्तन गराएको पाइन्छ । एवम् रीतले चिनियाँहरूको लेखनपद्धतिमा तेह्रको स्थान परिवर्तन गर्दा तीस, चौधको स्थान परिवर्तन गराउँदा चालीस र पन्ध्रको स्थान परिवर्तन गराउँदा पचास हुने गर्दछ । रोमन पद्धतिमा योगका आधारमा बीसको लेखन गरिएको छ भने चिनियाँहरूले गुणनका आधारमा बीस लेखेको देखिन्छ । यी लेखन पद्धतिहरू फरक भए पनि यिनमा शून्यको प्रयोग नहुनुबाहेकका अन्य अर्थका लागि भएको देखिँदैन ।

आजसम्मका लेखन पद्धतिहरूको इतिहास विश्लेषण गर्ने हो भने दशलाई संकेतन गर्दा फरकफरक अंक वा संकेतहरूको फरकफरक तरिकाले संयोजन गर्ने वा छुट्टै स्वतन्त्र संकेत प्रदान गर्ने गरेको देखिन्छ । केही लेखन शैलीहरूमा दशलाई आधार मानेर एघार, बाह्र आदिको संकेतन गर्ने कार्य भएको देखिन्छ । केही लेखन शैलीहरूमा अन्य अंकहरूलाई पालैपालौ प्रयोग गरेर लेख्ने गरेको पनि पाइन्छ । दशकै आधारमा सय, हजार, दशहजार, लाख आदि परिमाणहरूको पनि निर्माण गरिएको हुन्छ । दश वा दशजन्य अंकसमुच्चयहरूमा शून्यको आकारका संकेतहरूको उपस्थिति देखिए पनि वास्तविक शून्यको कुनै भूमिका रहेको हुँदैन । कुनै एउटा लेखनशैलीमा मात्र केन्द्रित भएर विचार विमर्श गर्दा त्यस खालको भ्रम सिर्जना हुन गएको हो ।

६. निष्कर्ष

अंकगणितमा प्रयोग हुने संख्याहरूले जोड, घटाउ, गुणन र भागजस्ता आधारभूत सम्बन्धसँगै अर्थिने र भूमिका निर्वाह गर्ने गर्दछन् । गणितमा गणना, संख्या, अंक र अंकसमुच्चयहरूले मापन, गणना, आकार, वर्गीकरण तथा तुलनाका लागि भूमिका निर्वाह गर्दछन् । यस क्रममा शून्यको भूमिकाको पनि लामो इतिहास रहेको देखिन्छ । शून्य अन्ततः केही पनि नहुनु वा कुनै पनि परिमाणको उपस्थिति नहुनु भन्ने अर्थमा प्रयोग हुनुपर्ने देखिन्छ । विभिन्न आधारहरूको विश्लेषण गर्दा अंकगणित र सम्बन्धित क्षेत्रहरूमा शून्यको वास्तविक स्वरूप र यसको अधिकतम भूमिका निम्नबमोजिम हुने देखिन्छः

१. शून्यको अर्थ केही पनि नहुनुमात्र हुन्छ ।

२. स्थान थामेर बस्ने गोलाकार चिन्ह शून्य होइन, शून्यको जस्तै लेख्य संकेत प्रयोग गरिएको मात्र हो ।

३. शून्य जोर संख्या होइन ।

४. कुनै संख्या र शून्यको गुणनको सारसँग शून्य पूर्णतः बराबर हुँदैन, सारमात्र तुल्य “=.” हुन्छ ।

५. शून्यलाई कुनै संख्याले भाग गर्दा आउने भागफलको पनि सार तुल्य “=.” हुन्छ ।

६. भाव, अभाव र विपरीत भावका लागि प्रचलित शून्यसम्बन्धित अध्ययनले वर्णन गर्न सक्दैन र फरक कोणबाट वर्णन गर्नु आवश्यक देखिन्छ ।

७. स्थानमानका सन्दर्भमा शून्यले दिने भनिएको अर्थका लागि शून्यजस्तै संकेतको प्रयोग गरिएको देखिन्छ, त्यो शून्य होइन ।

८. समग्रताका सन्दर्भमा शून्यताबाट भविता वा भविताबाट शून्यता हुँदैन तर गणितीय सन्दर्भमा भविताका सापेक्षतामा मात्र शून्यताको अस्तित्व हुन्छ ।

९. शून्यसमेत गरी १० वटा अंकहरू रहन्छन् भनी मान्दा देखिन जाने परिणामहरूबारे गणितमा थप छलफल हुनु आवश्यक देखिन्छ ।

१०. दशका लागि पनि एउटा अंक (मानौँ ९ं) बनाई त्यसमा आधारित लेखन पद्धति अपनाएको भए शून्यले कुनै स्थानमान वा जोरको स्वभाव देखाएको प्रतीत हुने थिएन ।

११. प्रचलनमा रहेका ‘भन्दा ठूलो’ र ‘भन्दा सानो’ जनाउने संकेतहरूलाई क्रमशः ऋणात्मक सार (.<) र धनात्मक सार (>.) का रूपमा संकेतन गरी सोहीवमोजिम प्रयोग गर्नु आवश्यक हुन्छ ।

१२. समीकरणमा लागु हुने सबै शर्तहरू सारीकरणमा हुँदैन । सारीकरणले शून्य र शून्य तथा शून्य र अन्य संख्याहरुबीचको सम्बन्धको व्याख्या गर्दा र तुलना गर्दा सत्य नतिजा दिन सहयोग पुर्याउँछ ।

यसरी शून्यसम्बन्धी मान्यता र धारणाहरूका हजारौँ वर्षदेखि देखिएका अन्योलता, अस्पष्टता र द्वैधताका कारणहरूको खोजी गरी समस्याको निवारण गर्ने कार्य यस लेखमा भएको छ । यस लेखबाट हिन्दु अरबिक लेखन पद्धतिको अन्तर्निहित र वास्तविक स्वरूपको विश्लेषण गरिएको छ । दशमा आधारित लेखन पद्धतिमा केकस्ता सम्भावनाहरू हुन्छन् र उक्त लेखन पद्धतिमा अपनाइएका उपायहरू केके थिए भन्नेबारे पनि यस लेखमा जानकारी गराइएको छ । त्यतिबेलै दशको प्रयोग गरेको भए हाम्रो लेखन पद्धतिको स्वरूप कस्तो हुने थियो भन्नेबारे जानकारी गराउनुका साथै जोड, घटाउ, गुणन र भाग गर्ने नियमहरू कस्ता बन्ने थिए भन्नेबारे पनि जानकारी गराइएको छ । सबै प्रकारका संख्याहरू र शून्यका बीचमा तुलना गर्न सहज बनेको छ भने व्यवहारमा आउने भाव, अभाव र विपरीतभावबारे पनि स्पष्ट हुन पुगेको छ ।

७. सन्दर्भसामग्रीसूची

७.१. पुस्तक तथा अन्य अध्ययन सामग्रीहरू

१. इन्साइक्लोपेडिया ब्रिटानिका, संख्यासँग सम्बन्धित लेखहरू, इन्साइक्लोपिडिया लाइब्रेरी, २००८ ।

२. कुँवर भविन्द्र. भौतिक शास्त्रमा भएका केही त्रुटिहरूको खन्डन र समाधान, काठमाडौँः काठमाडौँ रिसर्च
    एन्ड पब्लिकेसन्स् प्रा. लि., वि. सं. २०६७ ।

३. जेम्स/जेम्स. म्याथ्म्याटिक्स डिक्सनेरी, दिल्लीः सिबिएस पब्लिसर्स एन्ड डिस्ट्रव्युटर्स, पु., १९८८ ।

४. डेन्टिथ, जोन र अन्य. (सम्पा.) अक्फोर्ड डिक्सनेरी अफ फिजिक्स, अक्सफोर्ड युनिभर्सिटी प्रेस, २००९ ।

५. माइक्रोसफ्ट इन्कार्टा, शून्य र संख्यासँग सम्बन्धित विविध लेखहरू, २००९ ।

६. वराल, ईश्वर र अन्य. नेपाली साहित्यकोश, काठमाडौँः नेपाल प्रज्ञा प्रतिष्ठान, वि.सं.२०५५ ।

७. वर्मा, धीरेन्द्र. र अन्य, हिन्दी साहित्य कोश (भाग १), वाराणसीः ज्ञानमन्डल लिमिटेड, सन् २००० ।

८. शर्मा, गोपीकृष्ण. संस्कृत साहित्यको रूपरेखा, दोस्रो सं., काठमाडौँ अभिनव प्रकाशन, वि.सं. २०५६ ।

९. श्रेष्ठ, मीनबहादुर. गणितदर्शन, काठमाडौँः नेपाल प्रज्ञा–प्रतिष्ठान, वि. सं. २०७० ।

१०. सक्सेना, प्रवेश. (अनु. शर्मा, अर्जुनदेव), भारतीय दर्शनमा के छ ?, नेपाली संस्करण, काठमाडौँः परिवेश
    प्रकाशन प्रा. लि. वि. सं. २०६१ ।

७.२. केही साइट तथा लिंकहरू

1. https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/

2. https://www.amazon.com/Nothing-that-Natural-History-
    Zero/dp/0195142373

3. https://www.scientificamerican.com/article/what-is-the-origin-of-zer/

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_zero

5. https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_inverse

6. http://www.archimedes-lab.org/numeral.html

7. https://www.reference.com/history/invented-number-system-
    f69273b722298dd2

8. https://www.quora.com/Who-invented-the-numbers-0-9

9. vedicsciences.net/articles/history-of-numbers.html

10. https://en.wikipedia.org/wiki/0  

11. https://en.wikipedia.org/wiki/Aryabhata

12. https://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero

13. https://en.wikipedia.org/wiki/Br%C4%81hmasphu%E1%B9%ADasi
     ddh%C4%81nta

14. https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Zero_to_the_
     power_of_zero

15. https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

16. http://www.purplemath.com/modules/numbbase.htm

17. https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_digit

18. https://en.wikipedia.org/wiki/Indian_numerals

19. http://whatis.techtarget.com/definition/zero-0

20. https://www.merriam-webster.com/dictionary/zero

21. http://en.wikipedia.org/wiki/0_(number)

भविन्द्र कुँवर

(प्रबन्ध निर्देशक)

काठमाडौँ रिसर्च एन्ड पब्लिकेसन्स्, काठमाडौँ, नेपाल